А ну-ка, догадайся!

Согните трубку в кольцо и сшейте противоположные концы так, чтобы получился тор. В разглаженном виде такой тор будет иметь форму квадрата (сложенного в 4 раза исходного квадрата). «Дыру» следует прорезать по горизонтали в верхнем слое ткани, тогда вывернуть тор будет особенно легко.

Итак, вывернем тор наизнанку через прорезь. Размеры его от этого не изменятся, но прорезь из горизонтальной превратится в вертикальную. Рисунок ткани, если таковой имеется, также повернется на 90°. Иначе говоря, при выворачивании параллели тора превратятся в меридианы, а меридианы — в параллели.

Чтобы своими глазами убедиться в этом, начертите одним цветом параллель, а другим — меридиан.

После выворачивания тора наизнанку обе окружности поменяются местами.

Наглядно представить себе все этапы деформации тора при выворачивании его наизнанку нелегко.

Рисунки, изображающие один за другим все этапы этой операции, приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бей л и «Топология» в Scientific American за январь 1950 г.

С тором связано много других парадоксов. Пусть, например, тор с дырой сцеплен с тором без дыры.

Может ли один из торов «проглотить» другой так, чтобы тот оказался целиком внутри него? Оказывается, может. Подробности приведены в моей статье, опубликованной в мартовском номере журнала Scientific Americanза 1977 г. Другие парадоксы, связанные с торами, вы найдете в моих статьях, опубликованных в том же журнале в декабре 1972 г. (о заузленных торах) и в декабре 1979 г.

Чудо-коса

_{Венди решила купить себе кожаный браслет.}

_{В магазине ей понравились два браслета. Каждый из них был сделан из трех ремешков: один сплетен из ремешков, другой — гладкий.}

_{Венди.Сколько стоит плетеный браслет?}

_{Люк.Пять долларов, мадам, но, к сожалению, он уже продан.}

_{Венди.Какая жалость! А нет ли у вас еще одного такого браслета?}

_{Люк.Есть, вот он перед вами.}

_{Венди.Да, но ведь этот браслет не плетеный, а гладкий.}

_{Люк.С удовольствием заплету его для вас.}

_{Хотя в это трудно поверить, Люк сплел браслет за полминуты, не разрезав ни одного ремешка! Вот как он начал.}

Самое удивительное в плетеном браслете, который так понравился Венди, — это то, что «косу» можно заплести даже в том случае, если концы «прядей» скреплены с двух сторон. Иначе говоря, плетеный браслет топологически эквивалентен гладкому. Последовательные этапы плетения браслета изображены ниже. Ремешки в таком браслете перекрещиваются 6 раз. Удлиняя их, можно заплетать косы с любым числом перекрещиваний, кратным 6. Если вы захотите сплести себе браслет или пояс, замочите предварительно кожу в теплой воде, чтобы она стала мягче.

Косы такого рода можно заплетать не только из трех, но и из большего числа прядей. Более подробно о таких косах рассказывается в статье А. Г. Шепперда«Косы, которые можно заплести из прядей, скрепленных с обоих концов» [13] . См. также главу «Теория групп и косы» в моей книге «Математические головоломки и развлечения» [14]

Большинство людей видят в таком браслете лишь еще один топологический курьез. В действительности же речь идет о вещах несравненно более важных и интересных. Математик Эмиль Артин построил даже теорию кос, воспользовавшись для этого аппаратом теории групп.

13

Proceedings of the Royal Society, 1962, A265, pp. 229–244

14

См. сноску на с. 44, с 358–370.

Элементом группы является схема переплетения прядей, операция состоит в последовательном плетении двух схем, а элементом обратным данной схеме, — зеркально-симметричная схема. Косы служат великолепным введением в теорию групп и преобразований.

(Элементарное введение в теорию кос можно найти в статье Артина«Теория кос» [15] .)

Точка, которой не может не быть

<

15

The Mathematical Teacher, may 1959.

empty-line />

_{Пат поднимался по узкой тропинке, ведущей к вершине горы. Он отправился в путь в 7 00 утра и в тот же день достиг вершины в 7.00 вечера.}

_{Переночевав на вершине, Пат на следующее утро в 7.00 пустился в обратный путь по той же тропинке.}

_{В тот же день в 7.00 вечера Пат спустился в долину, где встретил своего преподавателя топологии миссис Клейн.}

_{М-с Клейн.Рада видеть вас, Пат. Известно ли вам, что какую-то точку своего маршрута вы вчера и сегодня миновали в одно и то же время?}

_{Пат.Должно быть, вы разыгрываете меня, миссис Клейн! Такого не может быть! Я шел с различной скоростью и даже останавливался на привал, чтобы отдохнуть и перекусить.}

_{Но миссис Клейн оказалась права.}

_{М-с Клейн.Представьте себе, что у вас есть двойник, который начинает спускаться в тот самый момент, когда вы начинаете восхождение. Независимо от того, с какой бы скоростью ни проходил он отдельные участки маршрута, вы все равно с ним встретитесь.}

_{М-с Клейн.Мы не можем сказать заранее, где именно произойдет встреча, но в том, что она непременно произойдет, нет никаких сомнений. Следовательно, какую-то точку маршрута вы вчера и сегодня миновали в одно и то же время.}