А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
4. ВЕРОЯТНОСТЬ
Парадоксы о случайном и ставках
Теория вероятностей играет настолько важную роль в современной науке, что ей непременно будет отводиться все большее место в элементарных курсах математики. Многие (начиная еще с Цицерона) видят в теории вероятностей путеводную нить, которая позволяет постичь хаос повседневной жизни. С утра и до вечера мы живем, подсознательно заключая пари о вероятности исхода того или иного события, крупного или незначительного.
Если квантовую механику считать последним словом в физике, то в основе всех фундаментальных законов природы лежит случай.
В
Представьте себе, например, что вы вызвали лифт. Казалось бы, кабина с равной вероятностью может прийти и снизу, и сверху.
Как ни парадоксально, те, кто так считает, заблуждаются. Вы пришли в незнакомую вам семью, где растут четверо детей. Казалось бы, с наибольшей вероятностью можно ожидать, что у счастливых родителей два мальчика и две девочки. Но те, кто так думает, также заблуждаются.
Приводимые ниже простейшие понятия теории вероятностей помогут вам постичь, почему при одновременном бросании 3 игральных костей шансы на выигрыш ниже шансов на проигрыш и почему различные удивительные совпадения в действительности не так уж удивительны (о последних речь пойдет в следующей главе).
Парадоксы для этой главы я отбирал, следя за тем, чтобы их можно было легко понять и промоделировать с помощью таких доступных «подручных средств», как монеты или игральные карты. Каждый из собранных в главе парадоксов решается путем перебора всех возможных исходов даже в тех случаях, когда задача допускает более простое и изящное решение. Избранный мной более громоздкий подход позволяет глубже и основательнее разобраться в существе задачи.
Хотя в конечном счете все сводится к вероятности только одного типа, обычно принято различать вероятности трех основных типов.
1. Классическая, или априорная, вероятность. Все исходы испытания, или опыта, предполагаются равновероятными. Если испытание имеет n равновероятных исходов и нас интересует вероятность наступления k из них, образующих некоторое подмножество, то эта вероятность равна дроби k/n. Например, если вы бросаете игральную кость, изготовленную «честно», из однородного материала, то любая из шести граней выпадает равновероятно. С какой вероятностью выпадает четное число очков? Из 6 равновероятных исходов бросания игральной кости (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков) четное число выпадает в 3 случаях (когда выпадает 2, 4 и 6 очков). Следовательно, вероятность выпадения при одном бросании четного числа очков равна 3/6 = 1/2
Иначе говоря, при одном бросании шансов за то, что выпадет четное число очков, ровно столько же, сколько за то, что выпадет нечетное число очков. Это честная игра (шансы на выигрыш и проигрыш равны).
2. Частота, или статистическая вероятность. Ее вводят, когда события априори неравновероятны. Лучшее, что можно сделать в таких случаях, — это многократно повторить или пронаблюдать интересующее нас событие и установить частоту различных исходов испытания. Например, если игральная кость каким-то образом утяжелена, но внешне не отличается от однородной, то вы бросаете ее несколько сот раз и по исходам бросаний заключаете, что вероятность выпадения, скажем, 6 очков составляет 7/10 вместо 1/6 для «честной» игральной кости.
3. Индуктивная вероятность. Под индуктивной вероятностью понимают меру правдоподобия, приписываемую ученым какой-нибудь закономерности или теории. Недостаточное знание явлений природы исключает введение классической вероятности, а эксперименты или наблюдения слишком редки и неопределенны для того, чтобы мы могли воспользоваться точными частотными оценками. Приведем пример индуктивной вероятности. Некий ученый, проанализировав все известные данные, пришел к заключению, что черные дыры скорее всего не существуют. Такого рода вероятностные оценки, неточные в силу самой своей природы, непрерывно изменяются по мере появления новых данных, подтверждающих или опровергающих исходную гипотезу.
Два последних парадокса в этой и в следующей главах затрагивают понятие индуктивной вероятности. Если вас заинтересуют парадоксы такого рода, то, прочитав о них побольше, вы погрузитесь в глубокие воды современной теории вероятностей
и философии науки.У Джонсов пятеро детей — все девочки.
М-с Джонс. Надеюсь, наш следующий ребенок не будет девочкой.
М-р Джонс. Дорогая, после того как у нас родилось пять девочек, наш следующий ребенок непременно будет мальчиком. Верно ли это?
Многие игроки думают, будто в рулетку можно выиграть, если, дождавшись длинной серии выпадений на красное, поставить на черное. Эффективна ли такая система?
Эдгар Аллан По считал, что если два очка выпадают два раза подряд, то при следующем бросании кости вероятность того, что выпадет два очка, меньше 1/6. Верно ли это?
Ответив утвердительно на любой из трех приведенных выше вопросов, вы попадете в ловушку, известную под названием «ошибка игрока». В каждом из трех случаев следующее событие полностью независимо от всех предыдущих событий.
Вероятность того, что у Джонсов шестой ребенок будет девочкой, такая же, как вероятность того, что первый ребенок у них девочка. Вероятность того, что при игре в рулетку следующее число будет красным, такая же, как вероятность того, что красным было любое из предыдущих чисел. Вероятность выпадения двух очков при очередном бросании игральной кости всегда равна 1/6.
Действительно, представьте себе, что мистер Джонс бросает вполне доброкачественную симметричную монету и она пять раз подряд падает вверх гербом. Шансов за то, что при очередном бросании она выпадет вверх гербом, столько же, сколько и прежде: пятьдесят на пятьдесят. Монета «не помнит», какой стороной она падала вверх в предыдущих бросаниях.
Если наступление события А каким-то образом влияет на наступление события В, то говорят, что событие В зависит от события А. Например, вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, зависит от того, велика ли вероятность дождя назавтра (точнее, от того, как вы оцениваете эту вероятность). События, о которых обычно говорят, что они «не имеют ни малейшего отношения друг к другу», называются независимыми. Вероятность того, что, выходя завтра из дому, вы захватите с собой зонт, никак не зависит от вероятности того, что президенту США на завтрак подадут яйца всмятку.
Большинство людей с трудом верят, что «родственные узы», незримо связывающие, по их мнению, однотипные события, никак не сказываются на вероятности отдельного независимого события. Например, во время первой мировой войны солдаты на фронте во время артиллерийского обстрела предпочитали искать укрытие в свежих воронках от снарядов. Прятаться в старых воронках они считали рискованным, так как в них при очередном обстреле скорее может угодить новый снаряд. В свежей воронке солдаты какое-то время чувствовали себя в безопасности, так как считали совершенно невероятным, чтобы два снаряда попали подряд в одно и то же место.