А ну-ка, догадайся!

Много лет назад рассказывали анекдот об одном человеке, которому приходилось много летать на самолетах. Панически боясь, как бы кто-нибудь из пассажиров не пронес тайком на борт самолета бомбу, этот человек имел обыкновение возить с собой в портфеле свою «собственную» бомбу, правда незаряженную. Вероятность того, что кто-то из пассажиров пронесет на борт одну бомбу, этот человек считал малой, а вероятность того, что на борту самолета одновременно находятся две бомбы, — ничтожно малой по сравнению с первой. Разумеется, вольно ему было возить с собой «собственную» бомбу: вероятность того, что кто-то другой пронесет бомбу на борт самолета, от этого ничуть не менялась, подобно тому как не меняется исход бросания одной монеты от того, что бросают другую монету.

При игре в рулетку наибольшей популярностью пользуется «система», известная под названием «система Д'Аламбера». В основе ее лежит все та же «ошибка игрока»: те, кто придерживается ее, совершенно упускают из виду, что независимые события независимы. Следуя системе Д'Аламбера, игрок делает ставку на красное или черное (или заключает пари с равными шансами на выигрыш и проигрыш), увеличивая ставку после каждого проигрыша и уменьшая после каждого выигрыша. Сторонники системы Д'Аламбера явно полагают, будто маленький шарик, брошенный на вращающееся колесо рулетки, каким-то образом «помнит», что помог им выиграть, и при следующем бросании менее охотно соглашается помочь им, уменьшая шансы на выигрыш. Если шарик приводит их к проигрышу, то из «сочувствия» при следующем бросании он охотнее идет на помощь проигравшему, повышая шансы на выигрыш.

То, что колесо рулетки каждый раз крутится независимо от всей предыстории, служит весьма простым доказательством невозможности разработать такую систему игры в рулетку, которая обеспечивала бы игроку преимущество перед игорным домом.

Слово «шансы» имеет два значения. Шансы на то, что брошенная не фальшивая монета упадет вверх «орлом» (или «решкой»), равные, или 1 к 1 (50 на 50 и т. д.). Стремясь извлечь прибыль, букмекер может принимать ставки на «орла» из расчета 4 к 5 (если вы поставите на «орла» 5 долларов и «орел» выпадает, то букмекер выплатит вам 4 доллара).

««Орел» идет 4 к 5», — заявляет букмекер, занижая истинные шансы на выигрыш. В своем «Полном руководстве по азартным играм» Джон Скарн характеризует подобную ситуацию следующим образом:

Если вы делаете ставку, которая ниже истинных шансов, а в любой организованной азартной игре дело обстоит именно так, то вы, по существу, уплачиваете оператору (банкомету, крупье и т. д.) определенный процент за право сделать ставку. Ваши шансы на выигрыш обладают, как сказали б и математики, «отрицательным математическим ожиданием».

Придерживаясь любой системы, вы делаете серию ставок, каждая из которых обладает отрицательным математическим ожиданием. Но сколько бы минусов вы ни суммировали, вам никогда не удастся получить плюс…

В постскриптуме к детективному рассказу «Тайна Мари Роже» Эдгар Аллан По сетует на почти полную невозможность убедить обычного читателя в том, что «при игре в кости двукратное выпадение шестерки делает почти невероятным выпадение ее в третий раз и дает все основания поставить против этого любую сумму». Игральная кость, так же как и монета, колесо рулетки и другие «рандомизирующие» устройства, порождает серию независимых событий: на исход очередного бросания никак не влияет вся предыдущая серия бросаний.

Если вы склонны поверить в какую-нибудь из разновидностей ошибки игрока, испытайте ее «в деле»: сыграйте по системе, основанной на приглянувшемся вам варианте ошибки. Например, начните бросать монету, делая ставку 1 к 1 после того, как она выпадает 3 раза подряд вверх одной и той же стороной. Ставьте всегда на противоположную сторону. Иначе говоря, после серии из трех «орлов» ставьте на «решку», а после серии из трех «решек» ставьте на «орла». Сделав 50 ставок, вы обнаружите, что примерно в половине случаев проиграли (мы не утверждаем, что число проигрышей будет в точности равно 25, но оно заведомо будет близко к 25): вероятности выпадения «орла» и «решки», конечно же, равны.

Было у кошки четверо котят

 _{При подсчете вероятностей легко допустить ошибку. Перед вами супружеская чета — кот и кошка.}

_М-р Кэт. Дорогая, сколько котят родилось у нас на этот раз?

_{М-с Кэт. Не видишь, что ли? Четверо.}

_{М-р Кэт. А сколько из них мальчики?}

_{М-с К э т. Трудно сказать. Пока я этого и сама не знаю.}

_{М-р Кэт. Мало вероятно, чтобы все четверо — были мальчиками.}

_{М-с Кэт. Мало вероятно, чтобы все четверо были девочками.}

_{М-р Кэт. Возможно, среди них только один мальчик.}

_{М-с Кэт. Возможно, среди них только одна девочка.}

_{М-р Кэт. К чему гадать? Обратимся лучше к теории вероятностей. Каждый котенок с вероятностью 1/2 либо мальчик, либо девочка. Следовательно, если у нас четверо котят, то наиболее вероятно, что среди них два мальчика и две девочки. Ты еще никак их не назвала, дорогая?}

_{Правильно ли рассуждал м-р Кэт? Проверим его теорию. Пусть М означает «мальчик», а Д — «девочка». Выпишем все 16 возможных комбинаций.}

_{Только в 2 из 16 случаев все четверо котят одного пола. Вероятность рождения 4 мальчиков или 4 девочек составляет поэтому 2/16 или 1/8. М-р Кэт был прав, считая такое событие маловероятным.}

_{А какова вероятность рождения двух мальчиков и двух девочек?}

_{М-р Кэт считал такую комбинацию наиболее вероятной. Два мальчика и две девочки рождаются в 6 случаях из 16. Вероятность такой комбинации равна 6/16 или 3/8, что больше, чем 1/8. Возможно, м-р Кэт прав.}

_{Для того чтобы окончательно выяснить, прав ли м-р Кэт, нам осталось вычислить вероятность рождения трех мальчиков и одной девочки или трех девочек и одного мальчика. Они рождаются в 8 случаях из 16, поэтому комбинация 3: 1 встречается с вероятностью 8/16, или 1/2, то есть более вероятна, чем комбинация 2:2. Не ошиблись ли мы?}