Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Шрифт:
Квадраты, фигурирующие в теореме Пифагора, можно понимать как числа, а можно и как картинки — буквально, как квадраты, нарисованные на сторонах треугольника. Представим себе, что квадраты на сторонах треугольника, изображенного на рисунке, сделаны из золота. Предлагается или выбрать два меньших квадрата, или взять самый большой. Что лучше?
Учитель математики Реймонд Смулльян говорит, что, когда он задает этот вопрос своим ученикам, половина класса желает взять один большой квадрат, а другая половина — два меньших квадрата. И те и другие очень удивляются, когда он сообщает им, что никакой разницы нет.
Это так потому, что, как утверждает теорема, общая площадь двух меньших квадратов равна площади большего квадрата. На каждом прямоугольном треугольнике
Неизвестно, действительно ли честь открытия этой теоремы принадлежит Пифагору, однако еще с античных времен имя его прочно связано с ней. Эта теорема подтверждает его мировоззрение, демонстрируя замечательную гармонию математической вселенной. И действительно, теорема выявляет связь более глубинную, чем просто между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника. Площадь полуокружности, построенной на гипотенузе, например, равна сумме площадей полуокружностей, построенных на двух других сторонах. Площадь пятиугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей пятиугольников, построенных на двух других сторонах; то же верно для шестиугольников, восьмиугольников и вообще для любых правильных или неправильных фигур. Если, скажем, к сторонам прямоугольного треугольника пририсовать три портрета Моны Лизы, то площадь большой Моны будет равна площади двух меньших.
Больше всего меня восхищает в теореме Пифагора то, что я понимаю, почемуона верна. Простейшее доказательство таково. Оно восходит к древним китайцам, возможно к тем временам, когда Пифагор еще не родился, и представляет собой одну из причин, по которой многие подвергают сомнению, что именно он был первым, кто предложил эту теорему.
Прежде чем продолжать чтение, рассмотрим два квадрата. Квадрат А по размеру равен квадрату В, и все прямоугольные треугольники внутри этих двух квадратов тоже имеют одинаковые размеры. Поскольку квадраты равны, площади белых областей внутри них тоже равны. Заметим теперь, что большой белый квадрат внутри квадрата А — это квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника. А меньшие белые квадраты внутри квадрата В — это квадраты, построенные на двух других сторонах треугольника. Другими словами, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Готово.
Поскольку мы можем построить квадраты, аналогичные А и В, для прямоугольного треугольника любой формы и размера, теорема должна быть верна во всех случаях.
Захватывающая увлекательность математики коренится в моменте внезапного проявления истины в доказательствах, подобных приведенному выше, когда все вдруг становится ясным. И тогда испытываемое интеллектуальное удовольствие граничит с физическим. В XII столетии это доказательство так потрясло индийского математика Бхаскару, что под иллюстрирующим его рисунком он в своей математической книге «Лиливати» вместо объяснений написал всего одно слово: «Зри!»
Имеется много других доказательств теоремы Пифагора; одно, особенно милое, приведенное на рисунке, приписывается арабскому математику Аннаиризи, а появилось оно около 900 года. Теорема там извлекается из повторяющегося узора. Улавливаете? (Если нет, то помощь можно почерпнуть в приложении 1 на веб-сайте, посвященном этой книге.)
В книге «Пифагорово предложение» Элиша Скотта Лумиса, изданной в 1940 году, приведено 371 доказательство этой теоремы. Их авторы были на редкость несхожие между собой люди; к примеру, одно доказательство в 1888 году предложила слепая девушка Эмма Кулидж; второе, в 1938 году — Энн Кондит, 16-летняя старшеклассница; авторами других считаются Леонардо да Винчи и американский президент Джеймс А. Гарфилд, правивший страной с марта по сентябрь 1881 года. Гарфилд наткнулся на свое доказательство во время математических развлечений с коллегами в бытность свою конгрессменом от Республиканской партии. «Мы рассматриваем его как нечто, по поводу чего члены обеих палат могут проявить единство, невзирая на партийные различия», — сказал он, когда его доказательство впервые было опубликовано в 1876 году.
Разнообразие доказательств — свидетельство жизненной силы математики. Нет и никогда не было одного-единственного «правильного» способа решения математической задачи, и исключительно интересно наблюдать, какими различными путями различные умы добирались до желанного решения.
Возьмем, например, три доказательства теоремы Пифагора из трех различных эпох: одно предложил Лю Хуэй — китайский математик, живший в III веке, другое — Леонардо да Винчи, один из титанов эпохи Возрождения, а третье (в 1917 году) — Генри Дьюдени, самый знаменитый британский изобретатель головоломок. И Лю Хуэй, и Дьюдени дали «доказательства путем разбиения», в которых два малых квадрата разбиваются на фигуры, которые можно собрать в точности в большой квадрат. Вы можете пожелать изучить их доказательства, чтобы понять, как это делается. Доказательство Леонардо более необычно и требует большего напряжения мысли. (Если потребуется помощь, загляните на веб-сайт www.alexbellos.com.)лю Хуэй
Генри Дьюдени
Леонардо да Винчи
Особо динамичное доказательство придумал в начале XX века нью-йоркский профессор математики Герман фон Баравалле. На рисунке показано, как большой квадрат, подобно амебе, делится на два меньших. Затемненные участки сохраняют свою площадь на каждом шаге. На шаге 4 два параллелограмма «скашиваются» за пределы области, а далее на шаге 5 эти параллелограммы преобразуются в квадраты, и — зри! — теорема доказана.
Доказательство Баравалле подобно наиболее общепринятому в математической литературе — тому, которое пошло от Евклида (около 300 года до н. э.).
Доказательство теоремы Пифагора, предложенное Германом фон Баравалле
Евклид — самый знаменитый греческий математик после Пифагора — жил в Александрии. В его шедевре «Начала» содержится 465 теорем, которые отражали объем знаний, доступных грекам того времени. Греческая математика почти целиком состояла из геометрии — слово это происходит от греческих слов, означавших «земля» и «измерение»,— хотя содержание «Начал» и не имело отношения к устройству реального мира. Евклид действовал в абстрактном мире точек и линий. Средства, которыми он разрешал себе пользоваться, представляли собой лишь карандаш, линейку и циркуль, — по каковой причине именно они стали основным содержимым детских пеналов на протяжении столетий.
Первая задача Евклида — книга 1, предложение 1 — состояла в том, чтобы показать, что по любому заданному отрезку можно построить равносторонний треугольник (то есть треугольник с тремя равными сторонами), причем со стороной, равной заданному отрезку. Он использовал следующий метод:
Шаг 1
Поставим острие циркуля в один из концов заданного отрезка и нарисуем окружность, проходящую через другой его конец.
Шаг 2
Повторим предыдущий шаг, поставив циркуль в другой конец отрезка. Получатся две пересекающиеся окружности.
Шаг 3
Проведем два отрезка, соединяющие одну из точек пересечения двух окружностей с концами исходного отрезка.
Затем Евклид методично продвигается от предложения к предложению, для чего требуется установление немалого числа свойств линий, треугольников и окружностей. Например, предложение 9 показывает, как провести «биссектрису» угла — построить угол, который есть в точности половина данного угла. Предложение 32 утверждает, что внутренние углы треугольника в сумме всегда дают два прямых угла, или 180 градусов. «Начала» — это гимн педантичности и строгости. Ничто никогда не принимается на веру. Каждая строчка логически следует из предыдущих. И тем не менее, исходя из всего нескольких основных аксиом (о них мы будем говорить позже), Евклид приводит впечатляющий набор неопровержимых результатов.
Первая книга завершается великолепным предложением 47. В издании 1570 года — первом английском переводе — имеется такой комментарий: «Эту самую замечательную и знаменитую теорему впервые открыл великий философ Пифагор, который так оттого возрадовался, что принес в жертву быка, как о том пишут Гиерон, Прокл, Дикий и Витрувий. И позднейшие варварские авторы называли ее Дулкарнон». «Дулкарнон» означает «двурогий», или «зашел ум за разум» — возможно, потому что рисунок, иллюстрирующий доказательство, содержит два похожих на рога квадрата, а быть может, потому что понять его действительно очень и очень непросто.