Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

В наши дни мы считаем по-другому, — и дело не только в том, что тут все слова незнакомые. Линкольнширские пастухи организовывали числа в группы по двадцать, начиная счет со слова уапи заканчивая словом piggot.Если у пастуха было более двадцати овец — при условии, что он не заснет, занимаясь их пересчетом, — ему приходилось делать отметку о том, что он закончил один цикл, например положив камешек в карман или проведя линию на земле. После этого он опять начинал считать сначала: «Yan, tan, tethera». Если у него восемьдесят овец, то в кармане у него в конце концов окажется четыре камушка или же на земле будут нарисованы четыре линии.

В современном мире мы, разумеется, группируем числа десятками, так что в нашей числовой системе десять цифр. Число, выражающее размер группы, используемой при счете, — которое к тому же часто совпадает с числом используемых символов, — называется основанием системы счисления, так что наша десятичная система имеет основание десять, а принятая у английских пастухов — двадцать.

Если при счете не пользоваться каким-либо разумным основанием, с числами вообще невозможно иметь дело. Представим себе, что у пастухов система счета с основанием единица. Это означает, что у них имеется только одно слово для чисел, уап, обозначающее единицу. «Два» тогда будет уап уап.«Три» — уап уап уап.Восемьдесят овец потребуют произнесения слова уапвосемьдесят раз. Такая система достаточно бесполезна для счета чего бы то ни было, превосходящего числом тройку. С другой стороны, вообразим, что каждое число выражается отдельным новым словом, так что способность досчитать до восьмидесяти потребует запоминания восьмидесяти разных слов. Попробуйте-ка теперь досчитать до тысячи!

Многие сообщества людей, живущих в изоляции, до сих пор используют нестандартные основания. Представители племени арара, живущие в Амазонии, например, считают парами, выражая числа от одного до восьми таким образом: анане, адак, адак анане, адак адак, адак адак анане, адак адак адак анане, адак адак адак адак.Счет двойками — не слишком большое усовершенствование по сравнению со счетом единицами. Чтобы добраться до сотни, придется повторить адакпятьдесят раз подряд — спорить и торговаться на базаре окажется делом, занимающим немало времени. В Амазонии также встречаются системы счета с основаниями 3 и 4.

Число, являющееся основанием, должно быть достаточно большим, чтобы позволять проговаривать числа типа сотни, не сбиваясь с дыхания, но при этом не настолько большим, чтобы нам приходилось перенапрягать память. Наиболее распространенные в истории основания — это 5, 10 и 20, и нетрудно понять почему. Эти числа получены из человеческого тела. У нас пять пальцев на руке, так что пять — первое число, которое просится, чтобы на нем перевели дух при счете от одного и выше. Следующая естественная пауза происходит из-за наличия двух рук, или десяти пальцев, а вслед за тем — двадцати пальцах на руках и ногах. (Некоторые системы — составные. Например, Линкольнширский лексикон для счета овец содержит основания 5 и 10, а также основание 20: первые десять чисел уникальны, а следующие десять сгруппированы в пятерки.) Роль, которую исторически сыграли пальцы, отражена в используемых словах, не в последнюю очередь — в наличии двух значений слова «digit» [2] . Например, в России число «пять» соотносится со словом «пясть», обозначающим раскрытую ладонь. Аналогичным же образом, слово «пять» на санскрите — панча— связано с персидским пенча, что также обозначает руку.

2

Два значения — цифра (то есть однозначное число) и палец. ( Примеч. перев.)

С того самого момента, как люди начали считать, они пользовались пальцами для облегчения счета, и не будет преувеличением сказать, в большой степени научный прогресс обязан ловкости наших пальцев. До того как бумага и карандаш стали доступны всем и везде, числа нередко выражались на хитром языке, связанном со счетом на пальцах. В VIII столетии англосаксонский теолог, бенедиктинский монах Беда Достопочтенный предложил систему счета до миллиона, которая отчасти была основана на арифметике, а отчасти — на использовании быстрых движений пальцев и рук. Единицы и десятки представлялись там левыми пальцами, включая большой; сотни и тысячи — правыми. Более высокие порядки выражались движениями рук вдоль тела; дело дошло до не вполне подобающего священнику способа представить число 90 000: «левой рукой обхвати себя за чресла, большой палец направив в сторону гениталий», — писал Беда. Знак «миллион», от которого требовалось выражение свершенности и удовлетворения достигнутым, был гораздо более изысканным: руки сложены вместе, а пальцы переплетены.

* * *

Системы с основанием 10 (десятичные) были в ходу на Западе в течение тысячелетий. Впрочем, несмотря на их соответствие устройству нашего тела, многие задавались вопросом, самое ли это подходящее основание для счета. Говорили, что идти на поводу у нашего телесного устройства — не вполне удачное решение. Шведский король Карл XII отвергал основание 10 как придумку «неотесанных простолюдинов», которые всюду лезут своими пальцами. В современной Скандинавии, считал он, требовалось основание, «доставляющее более удобств и преимуществ в использовании». Поэтому в 1716 году он приказал ученому Эмануэлю Сведенборгу разработать новую систему счета с основанием 64. Король остановил свой выбор на этом неординарном числе, потому что оно возникало из куба, как 4 x 4 x 4. Карл, который сражался в Великой Северной войне — и проиграл ее, — считал, что требуемые в военном деле вычисления, подобно измерению объема ящика с порохом, должны выполняться легче, если в основании системы будет лежать куб. Однако идея, которой он облагодетельствовал подданных, как писал Вольтер, «доказала единственно то, что он любил все необычное и сложное». Основание 64 требует для чисел 64 уникальных названия (и 64 символа), что делает счет довольно неудобным. Поэтому Сведенборг упростил систему до основания 8 и предложил новые обозначения, в которых 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 переименовывались в o, l, s, n, m, t, f, u. В этой системе, таким образом, 1 + 1 = x, а m x m = so. (Среди слов для новых чисел были поистине чудесные. Степени числа 8, которые предстояло записывать в виде lо, loo, looo, loooo и looooo, предлагалось произносить, или йодлить(на манер тирольского пения), как лу, ло, ли, ле, ла.) В 1718 году, однако, незадолго до того, как Сведенборг должен был завершить работу над своей системой, пуля оборвала жизнь короля, положив конец и его амбициозным начинаниям.

Однако идеи Карла XII были не лишены логики. На каком основании мы должны придерживаться десятичной системы лишь из-за того, что она возникла из числа пальцев у нас на руках и на ногах? Если бы люди были, например, кем-то вроде диснеевских персонажей всего с четырьмя пальцами на каждой руке, то почти наверняка мы бы жили в мире с основанием 8: ставили отметки исходя из высшего балла 8, составляли бы списки первых восьми победителей, а в гривеннике было бы восемь копеек. Математика нисколько не изменилась бы из-за введения альтернативного способа группировки чисел. Воинственный швед был прав, ставя вопрос о том, какое основание лучше всего подходит к нашим научным потребностям, и не полагаясь на систему, которая в максимальной степени соответствует нашей анатомии.

* * *

Как-то раз субботним утром в конце 1970-х годов в Чикаго Майкл де Флигер смотрел по телику мультфильмы. Начался очередной мультик. Сначала зазвучала музыка — диссонансное сочетание звуков расстроенного пианино, бренчания гитары и зловещего рева контрабаса. Действие происходило ночью, на небе ярко светила луна и сияли звезды. Вдруг появился странный гуманоид — во фраке в бело-синюю полоску, на голове — цилиндр. У гуманоида были светлые волосы и вытянутый нос, что до некоторой степени соответствовало моде той эпохи глэм-рока. И последний штрих в довершение отталкивающего образа — по шесть пальцев на руках и на ногах. «Это было что-то уродское, типа привидения, — вспоминает Майкл. — Мультик, называвшийся „Little Twelvetoes“ („Маленькие Двенадцатипальчики“), оказался образовательным фильмом, посвященным счету с основанием 12. Подозреваю, что подавляющая часть американцев вообще не врубилась в то, что там происходило. Но мне это показалось очень даже крутым».

Сейчас Майклу 38 лет. Я встретился с ним в его офисе, который размещается в жилой части Сент-Луиса, штат Миссури. У него густые темные волосы с первыми признаками седины, круглое лицо, темные глаза и смугловатая кожа. Его мать — филиппинка, а отец — белый. Из-за принадлежности к смешанной расе все детство Майкл страдал от насмешек. Будучи умным и чувствительным ребенком с развитым воображением, он решил изобрести свой собственный язык, чтобы одноклассники не могли прочитать, что записано у него в тетрадях. Мультик «Little Twelvetoes» вдохновил его на то, чтобы сделать то же самое и с числами, — и для своего личного пользования он выбрал основание 12.

Основанию 12 соответствуют двенадцать цифр. Это цифры от 0 до 9 и еще две, обозначающие десять и одиннадцать. Стандартные обозначения для этих двух «трансдецимальных» цифр — и . Вот, значит, как выглядит счет до 12:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 10.

Новые цифры получили новые имена, дабы избегать недоразумений: называется дек, а — эл. Снабдим еще цифру 10 именем дю, что есть сокращение от «дюжины», чтобы не путать ее с цифрой 10 по основанию 10. Двенадцатеричный счет от дю и далее ведется так: дю-один — это 11, дю-два — 12, дю-три — 13 и т. д. до дю-девять, что есть 19, дю-дек — 1, дю эл —1 и, наконец, два-дю — 20 [3] .

3

Отметим на всякий случай, что только что выписанные семь чисел выражаются в десятичной системе соответственно как 13, 14, 15 и 21, 22, 23, 24. ( Примеч. перев.)

Майкл придумал свой личный календарь, построенный на основании 12. Каждая дата в этом календаре представляла собой число дней, посчитанных по основанию 12 начиная со дня его рождения. Он до сих пор его использует, и после нашей встречи сказал мне, что я приехал к нему на 809-й день его жизни [4] .

Майкл принял основание 12 по причинам личной безопасности, но далеко не он один подпал под очарование этой системы. Многие серьезные мыслители аргументированно утверждали, что 12 — лучшее основание для числовой системы, потому что это число многостороннее, чем 10. На самом деле числовая система с основанием 12 — больше чем числовая система, это политико-математическое явление. Одним из самых первых ее пропагандистов был Джошуа Джордейн, который в 1687 году самостоятельно опубликовал книгу «Duodecimal Arithmetick». По его утверждению, «нет ничего более естественного и неподдельного», чем счет дюжинами. В XIX столетии к числу высокопоставленных дуодецифилов относились англичане Айзек Питман, снискавший себе немалую славу изобретением широко распространившейся системы скорописи, и выдающийся философ и социолог Викторианской эпохи Герберт Спенсер. Спенсер настаивал на необходимости реформы основания числовой системы ради «рабочих людей, людей скудного достатка и мелких лавочников, помогающих им в их нуждах». Американский изобретатель и инженер Джон В. Найстром также был фанатом двенадцатеричной системы. Он говорил об основании 12 как о «дуоденальном» — и похоже, это самое неудачное из двусмысленностей в истории науки (дуоденуме — двенадцатиперстная кишка).

4

Потренируемся в переводе двенадцатеричного числа в десятичное: (809)12 = 8 x 12 ³+ 0 x 12 ²+ x 12 + 9 = 8 x 1728 + 11 x 12 + 9 = 13 965. Это число дней — немного больше 38 лет. ( Примеч. перев.)