Александр Михайлович Ляпунов

— Будете приспособлять к тому изобретенные вами в работе восемьдесят восьмого года бесконечные ряды?

— Да, точные решения с удобством могут быть отысканы в виде бесконечных рядов слагаемых. А составляется каждое слагаемое из решения упрощенного уравнения первого приближения. Так что к первому приближению придется все же прибегнуть, но только лишь как промежуточной, вспомогательной ступени на пути к строгому и точному результату.

…Происходил тот разговор без малого два года назад. С той поры Ляпунов многое успел, ночь-ноченски просиживая за столом в кабинете. Особенно труженическим выдался минувший, восемьсот девяностый год. Пожалуй, только в новогоднюю ночь разрешил себе Александр отдохнуть от усиленных мозговых выкладок. Когда после дневных хлопот соединились они в праздничном застолье, Борис приветствовал брата пространным ободряющим словом.

— …Итак, важный зачин сделан. Теперь главное — не сбавлять темпа, — заключил он приподнято свое обстоятельное многоречение.

В последних числах декабря Александр отнес в типографию начало диссертации, но оценивал свои успехи достаточно скромно. Потому ответил сдержанно:

— Дело едва доведено до половины и прежде времени пока ликовать. Впереди тьма сколько работы. А вот тебя поздравляю с первым сданным экзаменом, тебе точно покладать руки нельзя.

За столом установилось оживление. Перебивая и поправляя один другого, вспоминали наиболее примечательные события истекающего года. Александр же впал в задумчивость. Не позволяя себе успокоенности, он тем не менее был доволен достигнутым. Проведены исследования, показывающие, когда об устойчивости можно судить по первому лишь приближению, то есть когда устойчивость или неустойчивость, выведенные из уравнений первого приближения, благонадежно свидетельствуют о подлинной устойчивости или неустойчивости. Для таких случаев, названных Ляпуновым «обыкновенными», нет расчета решать сложные первоначальные уравнения. Можно обойтись простыми математическими средствами и получить точный, истинный ответ. Бывает же так, что грубым, несовершенным способом некий факт может быть не только открыт, но и поставлен вне всякого сомнения!

Однако за разговорами не проморгать бы нам полуночи, подумал Александр и бросил взгляд на часы, стоявшие на камине. Издалека едва разглядел он, что часовая стрелка вплотную подошла к двенадцати, а минутная уже поспевает за ней. Но минутные деления на таком расстоянии не различались. Принимать во внимание только часовые деления — все равно что довольствоваться первым приближением, пришла ему мысль. Да, именно так: теория устойчивости первого приближения — не более как циферблат с одной часовой стрелкой. Можно ли по нему с уверенностью заключить о наступлении нового года? Иногда все же можно. Если стрелка показывает час, два часа ночи, значит, новый год уже в своих правах. Тут нет места сомнению. Таковы «обыкновенные случаи», которые им четко указаны и выделены. Негоже полностью упразднять метод первого приближения, он еще сослужит свою службу. Нужно лишь благовременно найти и означить разделительную черту: что этим методом льзя и чего не можно.

За той чертой остаются «особенные случаи», как их назвал Александр, когда первого приближения явно недостаточно для твердого, основательного суждения. Если часовая стрелка достигла отметки 12, как сейчас, только минутная стрелка подскажет более уверенно, встречать Новый год или обождать минуту, другую. Все равно что второе приближение. А ревнителям сугубой точности и секундная стрелка понадобится — третье приближение. Нет, не лежит душа у Ляпунова к тому, чтобы множить стрелки на «циферблате» теории устойчивости. Слишком это не по нем. Для «особенных случаев» постарается он отыскать вовсе иной подход, изначально строгий и точный.

КАНУН

Располагал Александр написать за лето третью главу, но вот уже июль в исходе, а не успел покончить даже со второй. «Что толку во всех моих зароках, коли дело идет своим порядком, — удрученно думал он. — Опять не так, как бы надо, опять не сладилось, не сложилось».

Диссертация подвигалась куда медленнее, чем хотелось бы. И нельзя сказать, чтобы отвлекался бездельно или занят был чем посторонним. Управлялись в хозяйстве и без него. Борис, проживший в Теплом весь июль, помогал Рафаилу Михайловичу в уборке ржи и на покосе, справлял с ним различные работы около дома. Может, потому не идет писание, что на сей год в Теплом Стане необыкновенное многолюдство?

Давно уже не видал огромный двухэтажный дом Сеченовых такого скопления родственников разом. Помимо Андрея Михайловича, проживавшего здесь со своей семьей — женой, сыном и дочерью, постоянно обитали в доме две овдовевших сестры Сеченовы. Всякий день появлялись они вместе с самого утра — крупная, полная и дородная Варвара Михайловна, а рядом маленькая и сухонькая Анна Михайловна. Поселилась Анна Михайловна вместе с Варварой Михайловной в ее отстоявшей особняком усадьбе, но целый день проводили они в кругу своих. Кроме того жила в доме третья незамужняя их сестра Серафима Михайловна, отличавшаяся некоторым чудачеством и склонностью к добродушному озорству. На лето присоединились к Сеченовым две сестры Екатерины Васильевны и покойного Михаила Васильевича — Глафира и Елизавета, которым тягостно было коротать одинокие дни в Плетнихе. Всю первую половину июля пробыл с братьями Сергей. Тогда же объявился в Теплом, ко всеобщей радости, Алексей Крылов — бравый бородатый офицер, штатный преподаватель Морского училища. Не ожидали только Ивана Михайловича, последние годы проводившего летние каникулы в имении жены в Тверской губернии.

Как во время оно, переполненный гостеприимный дом от утра и до вечера шумел неуемной, деятельной жизнью. Но Александр уединялся на весь почти день в кабинете, который определили ему на втором этаже рядом с бильярдной, и лишь ввечеру спускался в сад, ища отдохновения от изнурительного труда.

— Ну, как поработалось нынче? — встретил его вопросом Рафаил Михайлович, когда одним вечером пополнил он компанию родственников, расположившихся в беседке.

Наташа тут же убежала готовить кофе, который любил употреблять Александр для взбодрения.

— И солнце зашло, а прохлады никакой, — устало обронил Александр. — Душно даже.

Как всегда в такие минуты, казался он задумчивым и молчаливым. Отделывался от расспросов сокращенными, односложными фразами. И кто бы подумал, что в тот миг ему необыкновенно хочется пуститься в обстоятельные рассуждения ученого порядка? Что снедает его желание немедленно разделить с кем из понимающих переполнявшее душу удовлетворение, заразить тем благостным ощущением, которое снисходит обыкновенно после очередной творческой удачи? Ведь нынешний день еще одна ступенька надстроила крутую лестницу, ведущую к ясно обозначившейся уже высоте. Начинает работать, и притом весьма успешно, изобретенный им второй метод исследования устойчивости. Разве не повод для душевного ликования!

Снова занимался Александр «обыкновенными случаями», как в первой главе. Только теперь рассматривал их не в общем виде, а для установившегося движения, которому посвящена вся вторая глава. Вот тут и пригодились найденные им функции. Разработанный прежде метод, основанный на решении уравнений движения с помощью бесконечных рядов, и раньше не всегда справлялся с возникавшими вопросами, ныне же вовсе показался ему неудобным для исследования. Но чем было заменить его?

Ляпунов улыбнулся, вспомнив, как задорно оспаривали его результаты в мартовском заседании Математического общества. Выступил он тогда с докладом «Общая задача теории устойчивости движения» и объявил без обиняков, что воспользуется для доказательства теорем об устойчивости и неустойчивости новым своим методом. Вот-то удивил всех коллег-математиков! В Обществе успело утвердиться мнение, что Ляпунов поставил себе целью разработать точный метод решения уравнений движения, позволяющий выводить самые строгие суждения об устойчивости. А докладчик заявил вдруг, что то был всего лишь первый его метод. Первый! А что же, извините, представляет собой второй? В ответ докладчик завел обстоятельную речь о «двух категориях способов исследования устойчивости».

Только теперь члены Математического общества осознали, что Ляпунову никак не свойственна мнившаяся в нем односторонность стремления. Давно уже усматривал он противоположение своему первому методу в критериях устойчивости, предложенных Лагранжем и Раусом. Достоинства их слишком очевидны: они позволяют расправляться с задачами устойчивости, вовсе не решая уравнений — ни точно, ни приближенно. Отпадает великая масса математических сложностей, которые одолевали Ляпунова в работе с первым его методом и которые ставили в тупик многих других исследователей. Устойчиво или неустойчиво движение — о том можно судить по некоторым специально подобранным математическим величинам, неизменным во все время движения изучаемого объекта. Математики именуют их «интегралами уравнений движения». Самый простой смысл у «интеграла», который употреблял Лагранж. Это — полная энергия движущегося тела. Если она постоянна, то есть выполняется закон сохранения энергии, то справедлива теорема Лагранжа и положение равновесия устойчиво, когда потенциальная энергия в нем принимает наименьшее значение.

Казалось бы, не найти проще и удобнее метода изучения устойчивости, но чересчур уж ограничена область применения критерия Лагранжа. Много, слишком много реальных объектов не подпадают под действие теоремы. Потому и предпринял Раус попытку найти другие «интегралы», которые служили бы критериями устойчивости ничуть не хуже энергии. Так, почти столетие спустя после Лагранжа, появились в теории устойчивости «интегралы Рауса». Физический смысл их не столь прост и нагляден, как у «интеграла Лагранжа», но что за дело до этого математикам и механикам! Лишь бы можно было с их помощью выявлять устойчивые движения.