Алиса в стране математики

Главное требование к аксиомам состоит в том, чтобы они не противоречили друг другу (иначе получится так, как с «королевскими законами», которые придумывала Королева Червей). Непротиворечивость аксиом далеко не всегда очевидна: даже очень «правдоподобные» аксиомы могут противоречить друг другу! Вот известный шуточный пример. Возьмём три «аксиомы»:

1. Чем больше учишь, тем больше знаешь.

2. Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

3. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Каждая из этих «аксиом» по отдельности не вызывает сомнений. Однако из трёх «аксиом» вместе следует вывод: «Чем больше учишь, тем меньше знаешь»! С этим странным выводом можно было бы и согласиться, но он противоречит первой «аксиоме»! А из второй и третьей «аксиом» следует вывод, который вообще противоречит сам себе: «Чем больше знаешь, тем меньше знаешь»! Так что волей-неволей приходится признать, что эти правдоподобные «аксиомы» противоречат друг другу.

Но даже непротиворечивых аксиом для доказательств теорем недостаточно. Надо ещё, чтобы тот, кто доказывает, и тот, кто его слушает, правильно понимали друг друга — ведь недоразумение может возникнуть просто из-за того, что они по-разному понимают значение одного и того же слова (помните спор Шляпника с Королевой о том, что такое «шляпа»?). Чтобы таких недоразумений не возникало, математики пользуются определениями. Если теорема отвечает на вопрос «почему?», то определение отвечает на вопрос «что такое?». Например:

— Что такое квадрат?

— Это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Однако тут сразу же возникает новый вопрос:

— А что такое прямоугольник?

И уже можно догадаться, что нас снова подстерегает бесконечность, только на этот раз не вопросов «почему?», а вопросов «что такое?». Поэтому некоторые понятия математикам пришлось принять за основные, то есть отказаться от попыток определить их. Например, основными понятиями являются «точка» и «прямая».

Когда есть основные понятия, аксиомы и правила логики, можно, наконец, доказывать теоремы! Теоремы — это и есть новые знания математиков: доказательством теорем математики занимаются со времён Фалеса до наших дней.

Через две тысячи лет после Аристотеля немецкий учёный Лейбниц задался целью создать универсальный язык науки, с помощью которого можно было бы записывать любые рассуждения в виде математических формул.

И тогда, надеялся Лейбниц, учёные перестанут, наконец, спорить до хрипоты — вместо этого они возьмут в руки карандаши и спокойно скажут друг другу: «Давайте вычислим истину». Лейбниц даже думал о машине, которая сама сможет доказывать теоремы!

Однако только через сто пятьдесят лет после того, как Лейбниц высказал свою идею, ирландский математик Буль создал тот язык, о котором мечтал Лейбниц. Буль построил «алгебру логики», в которой есть уравнения, похожие на уравнения «обычной» алгебры, только при решении логического уравнения ищется ответ не на вопрос «сколько?», а на вопрос «истинно или ложно?». И сегодня, пользуясь «алгеброй логики» (чаще её называют «булевой алгеброй»), электронно-вычислительные машины действительно начали доказывать теоремы! Правда, пока ещё с помощью математиков...

Уже в самом начале развития логики выяснилось, что кроме истины и лжи бывает еще и «чушь» — высказывания, которые вообще лишены смысла (например, потому, что они противоречат самим себе). Но иногда противоречие запрятано так глубоко, что его ищут многие годы. Одним из первые таких примеров был знаменитый «парадокс лжеца»: если кто-то говорит «я лгу», то его слова лишены смысла (помните «показания» Мартовского Зайца?). Очень интересный парадокс был предложен английским учёным Расселом в начале XX века: должен ли брить самого себя цирюльник, которому приказано брить тех и только тех, кто не бреется сам? (Помните похожий королевский закон о Шляпнике?).

Парадоксы всегда привлекали учёных, потому что разбор парадоксов позволяет лучше понять законы мышления и учит избегать ошибок. А кроме того, парадоксы неожиданны и интересны, и этого уже достаточно для того, чтобы с ними стоило познакомиться!

Кстати, «парадокс стоящих часов», которые показывают точное время чаще, чем идущие, принадлежит самому Льюису Кэрроллу, а точнее — Чарльзу Лютвиджу Доджсону, который занимался как раз математической логикой.

НЕБЫЛИЦА О ТОМ, КАК ЛЕЙБНИЦ И БУЛЬ ИЗОБРЕЛИ ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Однажды заспорили Лейбниц и Буль — Был жарким тот спор небывало! К тому же учтите: был знойный июль, И солнце в зените стояло. Обоих манила прохладой вода, Но спор всё сильней разгорался. И Лейбница вдруг осенило тогда — Он вот до чего догадался: — Слова надо знаками нам заменять — Ведь мы математики оба. Мы истину сможем тогда вычислять! А Буль отвечал: — Хорошо бы! Пришлось им придумать особый язык, Для поиска истин удобный — Они превратили песок в черновик, И все записали подробно. Им истина сразу же стала видна, Лишь только на запись взглянули! Буль первым нырнул. Уж светила луна. А Лейбниц нырнул вслед за Булем.

СЛИШКОМ СТРАШНАЯ ИСТОРИЯ

Алиса шла вдоль берега озера и радовалась, что суматоха королевского приёма и бестолковый суд остались позади: ей хотелось побыть одной и отдохнуть от всяких головоломок. Напевая песенку, она побежала вприпрыжку.

— Скорей бы попасть на бал! — крутилось у неё в голове. — Ой, а не разучилась ли я танцевать? Надо проверить... начнём с кадрили!

И Алиса начала выделывать танцевальные фигуры, старательно повторяя те, которые получались не очень хорошо. Так, танцуя, она двигалась вперёд, глядя на свои ноги, и не заметила, что дорога повернула в лес. Лес становился всё гуще, и, наконец, стемнело так, что Алиса с удивлением подняла голову — лучи солнца с трудом пробивались сквозь листву!

— Когда в лесу темнеет, это обычно из-за того, что прилетает дракон, — вспомнила Алиса слова Эдит и на всякий случай внимательно посмотрела по сторонам.

Дракона она не увидела, но зато ей показалось, что на неё кто-то смотрит.

— Меня, наверное, приняли за сумасшедшую, — с досадой подумала Алиса. — Разве тот, кто в своём уме, станет танцевать кадриль в лесу?

И тут она заметила, что над грибом, возле которого она стояла, поднялись клубы дыма. Гриб был ростом с Алису (точнее, она была ростом с гриб: ведь она так и осталась маленькой!), и поэтому Алисе не было видно, откуда идёт дым.