Алиса в стране математики

А теперь, зная всё это, скажите — чего больше: всех натуральных чисел или только квадратов?

Ответ, казалось бы, не вызывает сомнений: ведь числа-квадраты — это только малая часть всех чисел! Однако давайте, следуя Галилею, напишем под каждым натуральным числом его квадрат:

Этот ряд мы можем продолжать сколько угодно: ведь у любого натурального числа есть квадрат. Но это как раз и означает, что квадратов столько же, сколько всех натуральных чисел! А значит, часть действительно равна целому!

Таково поразительное свойство бесконечных множеств, открытое Галилеем. Этим свойством обладают, конечно, только бесконечные множества! Потому оно и кажется нам таким необычным — ведь в жизни мы не встречаемся и никогда не встретимся с бесконечными множествами.

Бесконечность — это гениальная выдумка математиков, и единственное требование к этой выдумке состоит в том, чтобы в ней не было «обмана», то есть противоречий. Однако для того, чтобы выполнить это требование, приходится отказаться от многого из того, к чему мы привыкли, имея дело с конечными множествами. И прежде всего — от аксиомы, что часть всегда меньше целого!

Чтобы вам легче было отказываться от «конечных» привычек, приведём ещё один пример. Оставим в ряду натуральных чисел только каждое десятое число:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...

Заметьте, что «девять десятых» всех натуральных чисел мы при этом отбросили! А теперь сделаем «фокус» — зачеркнём у каждого из оставленных чисел нуль в конце. Что мы получим? Конечно, снова весь натуральный ряд — он, оказывается, ничуть не уменьшился от того, что мы оставили только «одну десятую» его часть!

Если хотите, можете оставить всего лишь «одну миллионную» часть натурального ряда, то есть числа:

1 000 000, 2 000 000, 3 000 000, 4 000 000, ...

Зачеркните теперь у всех чисел последние шесть нулей, и... «одна миллионная» часть тут же превратится в «целый» натуральный ряд! Он поистине «возрождается из пепла», как сказочная птица Феникс. Теперь вам, наверное, стали понятней и те правила грандиозного «шахматного бала», который наблюдали Алиса с Чеширским Котом.

Теорию бесконечных множеств создали в XIX веке чешский математик Больцано и немецкий математик Кантор. Они догадались, что сравнивать бесконечные множества можно единственным способом: составляя из элементов этих множеств пары (помните танцующие пары на «шахматном балу»?). И если можно составить пары так, что любому элементу первого множества найдется «компаньон» среди элементов второго множества, а любому элементу второго — «компаньон» среди элементов первого множества, причём каждый элемент входит в одну пару, то следует считать, что оба множества содержат элементов поровну.

Было строго доказано, что такой способ сравнения множеств не приводит к противоречиям, хотя при этом и возникают «чудеса», подобные описанным выше. Более того, появляются и новые «чудеса»: например, оказывается, что отрезки разной длины содержат одинаковое «число» точек! Вот как это доказывается:

Из этого рисунка видно, как можно составлять «пары» из точек двух отрезков — короткого и длинного. При этом, действительно, все точки обоих отрезков «собираются в пары»!

Можно доказать и большее — что на любом отрезке столько же точек, сколько на всей бесконечной прямой! Мы это сделаем в два приёма. Сначала докажем, что на отрезке столько же точек, как на полуокружности:

А теперь докажем, что на полуокружности столько же точек, сколько на всей прямой:

(может быть, некоторые из вас заметили, что для двух крайних точек полуокружности не нашлось точек-«компаньонов» среди точек прямой, но эта проблема легко решается: можно было, например, с самого начала взять отрезок без крайних точек).

А как вы думаете, где больше точек — во всём квадрате (включая его «внутренность») или только на одной его стороне?

Сам Кантор, «отец» теории бесконечных множеств, был уверен, что в квадрате точек больше. На поиски доказательства этого «очевидного» факта у него ушло три года, и в конце концов он доказал, что... точек в квадрате столько же, сколько на одной его стороне! Поражённый этим выводом, Кантор писал другому математику: «Я вижу это, но не верю этому». И тем не менее доказательство было безупречным (мы его здесь не приводим — оно не очень простое!).

Может быть, вы решили уже, что все бесконечные множества «одинаковы», то есть содержат одинаковое «число» элементов? Оказывается, и это не так: тот же Кантор показал, что существует бесконечно много разных бесконечных множеств, причем одни из них в «бесконечное число раз» больше других! Например, точек на отрезке «больше», чем всех натуральных чисел. Однако точный смысл слова «больше» для бесконечных множеств не так просто объяснить, да и, кроме того, мы побаиваемся, что у вас и так уже закружилась голова от «бесконечных чудес» с бесконечными множествами!

А если она еще не совсем закружилась, то вы, наверное, задались вопросом: зачем нужны бесконечные множества? Может, это только блестящая игра ума, которую математики придумали себе для развлечения?

Дело в том, что вся математика пронизана идеей бесконечности: ведь почти в любой теореме говорится о бесконечном множестве каких-то предметов, например, чисел или фигур (помните теорему о сумме углов любого треугольника?). И вот для того, чтобы математические доказательства были строгими, математикам и пришлось овладеть бесконечностью — иного способа доказывать, что в их великой «выдумке» нет «обмана», просто не существует!

Напомним на прощанье слова великих математиков двадцатого века.

Пуанкаре: «Если кто-нибудь захочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что математика — это наука о бесконечности».

Гильберт: «Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечности».

НЕБЫЛИЦА О ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЕ, ЖИВУЩЕМ В БЕСКОНЕЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ

Галилей глядит на небо В самодельный телескоп, Галилей от удивленья Морщит свой высокий лоб: Там, где Млечный путь проходит, Видит ясно наш герой Вместо чуть заметной дымки Бесконечный звёздный рой! — Как огромно мирозданье! — Восклицает Галилей, И его воображенье Разгорается сильней: Может, где-то есть планета, Очень сходная с Землёй, Может, там есть тоже море, И шумит морской прибой? Галилей глядит на небо, И фантазия его Обнимает мирозданье... Но не знает он того, Что сейчас на той планете Кто-то тоже морщит лоб И разглядывает небо В самодельный телескоп, И его воображенье Тоже всё смелей, смелей... И он тоже носит имя — Галилео Галилей!

Конец

Когда через неделю мистер Доджсон снова пригласил Алису и её сестёр на лодочную прогулку, Алиса рассказала свой удивительный сон.

— Я всегда считал, что даже спать над страницами учебника математики и то интересно, — произнёс мистер Доджсон, когда Алиса закончила рассказ. — К тому же снятся вещие сны, — добавил он.

— Почему вещие? — спросила Ларина, пытаясь понять: шутит мистер Доджсон или говорит серьёзно.