Большая книга занимательных наук

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными, но все же сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, то есть на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8 мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (то есть к 999999) прибавить наше число:

142857 х 8 = 142857 х 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).

Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число больше 7, как легко усмотреть из следующих строк:

142807 х 8 = (142857 х 7) + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1142856

142857 х 9 = (142857 х 7) + (142857 х 2) = 1000000 – 1 +285714= 1285713

142857 х 10 = (142857 х 7) + (142857 х 3) = 1000000 – 1 +428571 = 1428570

142857 х 16 = (142857 х 7 х 2) + (142857 х 2) = 2000000 -2 + 285714 = 2285713

142857 х 39 = (142857 х 7 х 5) + (142857 х 4) = 5000000 -5 + 571428 = 5571427

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [68] . Пусть мы желаем умножить 142857 на 88. Множитель 88 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения таков:

68

Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умноженному на число семерок в множителе; такое умножение легко выполнить в уме. Например, 142857 х 28 = 999999 х 4 = = 4000000 – 4 = 3999996.

12 571 428– 12 = 12 571 416.

От умножения 142857 на 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52 142 857 – 52 = 52 142 805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно, нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносным умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, заметим, что оно произошло от 1/7, или, что то же самое, от 2/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 999:

Мы уже имели дело с такими числами – именно когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142 857 = 143 х 999.

Но 143 = 13 х 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 х 11 х 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно получиться от умножения 142857 х 7:

142857 х 7 = 143 х 999 х 7 = 999 х 11 х 13 х 7 = 999 х 1001 = 999 999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Чисел, подобных тому, с которым мы познакомились, существует множество. Они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением – от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

1/7 дает в периоде 6 цифр.

1/17»»» 16»

1/19»»» 18»

1/23»»» 22»

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/17,1/19,1/23 и 1 /29 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренный нами период дроби 1/7.

Например, от 1/29 получаем число

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931.

Если указанное сейчас условие (относительно чисел цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1/13 = 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

2/13 = 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1:13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, то есть 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12; следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3,4, 9,10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076 923 х 3 = 230 769), на остальные – нет. Вот почему от 1/13 получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о ряде других периодов.

Мнимая неожиданность

В 1916 году, в разгар империалистической войны, некоторые газеты нейтральной Швейцарии занимались арифметическим «гаданием» о… грядущей судьбе императоров Германии и Австрии. «Пророки» складывали следующие столбцы чисел:

Для Вильгельма II:

Для Франца-Иосифа:

В совпадении сумм «пророки» видели мрачное предзнаменование для коронованных особ, и так как каждый итог представлял собой удвоенный 1916 год, то обоим императорам предрекали гибель именно в этом году.

Между тем совпадение результатов с математической стороны не является неожиданным. Стоит немного изменить порядок слагаемых – и станет понятно, почему они дают в итоге удвоенный 1916 год. В самом деле, разместим слагаемые так:

год рождения,

возраст,

год вступления на престол,

число лет царствования.

Что должно получиться, если к году рождения прибавить возраст? Разумеется, дата того года, когда производится вычисление. Точно так же, если к году вступления на престол прибавить число лет царствования, получится опять год, когда производится расчет. Ясно, что итог сложения четырех наших слагаемых может быть не чем иным, как удвоенным годом выполнения расчета. Очевидно, судьба императоров абсолютно не зависит от подобной арифметики…

Так как о сказанном выше не все догадываются, то можно воспользоваться этим для забавного арифметического фокуса. Предложите кому-нибудь написать тайно от вас четыре числа: