Большая книга занимательных наук

Девять одинаковых цифр

Конечная строка первой из только что рассмотренных «пирамид»

12345678 x 9 + 9= 111111111

представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:

12345679 × 9 = 111111111

12345679 × 18 = 222222222

12345679 × 27 = 333333333

12345679 × 36 = 444444444

12345679 × 45 = 555555555

12345679 × 54 = 666666666

12345679 × 63 = 777777777

12345679 × 72 = 888888888

12345679 × 81 = 999999999

Откуда такая закономерность в результатах?

Примем во внимание, что

12345678 х 9 + 9 = (12345678 + 1) х 9 = 12345679 х 9.

Поэтому 12345679 x 9= 111111111.

А отсюда прямо следует, что

12345679 х 9 х 2 = 222222222

12345679 х 9 х 3 = 333333333

12345679 х 9 х 4 = 444444444 и т. д.

Цифровая лестница

Любопытно, что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно?

Если вы обладаете способностью четко рисовать в воображении ряды цифр, вам удастся найти интересующий нас результат, даже не прибегая к выкладкам на бумаге. В сущности здесь дело сводится только к надлежащему расположению частных произведений, потому что умножать приходится все время лишь единицу на единицу – действие, могущее затруднить разве лишь фонвизинского Митрофанушку, размышлявшего о результате умножения «единожды один». Сложение же частных произведений сводится к простому счету единиц. Вот результат этого единственного в своем роде умножения (при выполнении которого не приходится нигде прибегать к действию умножения):

Все девять цифр выстроены в стройном порядке, симметрично убывая от середины в обе стороны.

Те из читателей, которых утомило обозрение числовых диковинок, могут покинуть здесь эту галерею и перейти в следующие отделения, где показываются фокусы и выставлены числовые великаны и карлики; я хочу сказать: они могут прекратить чтение этой главы и обратиться к дальнейшим. Но кто желает познакомиться еще с несколькими интересными достопримечательностями мира чисел, приглашаю осмотреть со мною несколько ближайших витрин.

Магические кольца

Что за странные кольца выставлены в следующей витрине нашей галереи?

Перед нами три плоских кольца, вращающихся одно в другом (рис. 1). На каждом кольце написаны шесть цифр в одном и том же порядке, именно – обозначено число: 142857. Кольца обладают следующим удивительным свойством: как бы ни были они повернуты, мы при сложении двух написанных на них чисел, считая от любой цифры в направлении часовой стрелки, получим во всех случаях шестизначное число (если только результат вообще будет шестизначный), лишь немного подвинутое!

Рис. 1. Вращающиеся числовые кольца

В том, например, положении, какое изображено на прилагаемом чертеже, мы получаем при сложении двух наружных колец:

т. е. опять тот же ряд цифр: 142857, только цифры 5 и 7 перенеслись из конца в начало.

При другом расположении колец относительно друг друга (рис. 2) имеем такие случаи:

Рис. 2. Другое расположение колец

Исключение составляет случай, когда в результате получается 999999 (рис. 3):

(Причину других отступлений от указанного правила читатель поймет, когда дочитает эту статью до конца.)

Мало того. Тот же ряд цифр в той же последовательности мы получим и при вычитании чисел, написанных на кольцах.

Например:

Рис. 3. Исключение составляет случай, когда в результате получается 999999

Исключение составляет случай, когда приведены к совпадению одинаковые цифры; тогда, разумеется, разность равна нулю.

Но и это еще не все. Умножьте число 142857 на 2, на 3, на 4, на 5 или на 6 – и вы получите снова то же число, лишь передвинутое в круговом порядке на одну или несколько цифр:

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

Чем же все загадочные особенности нашего числа обусловлены?

Мы нападем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число 142857 не что иное, как седьмая часть 999999; и, следовательно, дробь

Действительно, если станете превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:

Наше загадочное число есть период бесконечной периодической дроби, которая получается при превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении, утроении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7. Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2 – один из тех остатков, которые у нас уже получались при превращении 1/7; ясно, что должен повториться и прежний ряд цифр частного, но начнется он с другой цифры. Иными словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое произойдет и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, то есть на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить единицу, или – что то же самое – 0,9999…

Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы собственно делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Переставляем группу цифр с начала строки на конец, то есть согласно только что сказанному умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7, 3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, несколько седьмых долей, то есть опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей, которые в сумме дают единицу или больше 1.