является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что
для xm , xn ^I X, следует существование предела
, также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых
векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в
, норма ||x || =
; банахово пространство Lp (T ) всех суммируемых с р– й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма
; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что
, здесь
(множеству целых чисел), норма ||x || =(a
|xj |p )1/p ; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T ) гильбертовы, при этом, например, в L2 (T ) скалярное произведение
; линейное топологическое пространство D (
), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на
, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом xn
x, если xn (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2 : векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у ^I Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x ^I Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор xF , что x —xF ^f для любого f ^I F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej , j ^I
, из Н таких, что ||ej || = 1, ej ^ ek при j ¹ k , и для любого x ^I H справедливо «покоординатное» разложение
x = a
xj ej (1)
где xj = (x , ej ), ||x || = a
|xj |2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2 (0, 2p) и положить
, j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) ^I L2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ' {xj} , j ^I
гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0;
тензорное произведение
— образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1 ) к функциям многих переменных f (x1 ,..., xq ); проективный предел
банаховых пространств — здесь
(грубо говоря), если
для каждого a; индуктивный предел
банаховых пространств X1 `I X2 `I..., здесь
, если все xj , начиная с некоторого j , лежат в одном Xj0 , и в нём
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Нa , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что hb `I Нa , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (< image l:href="#"/>) — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С (Т ), в нём считается x
0, если x (t ³)0 для всех t ^IT .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y — линейные пространства; отображение A : X ® Y называется линейным, если для x , у ^I X , l, m ^I
,
где x1 ,..., xn и (Ax )1 ,..., (Ax ) n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а , b ) в него же оператор
(2)
(где K (t , s ) — ограниченная функция — ядро А ) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1 (a , b ) `I L2 (a , b ) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A : X ® Y , где X , Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов
(X , Y ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства
, если
для каждого x ^I X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x ^I Х таких, что ||x || lb r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X' , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (lp )c, p > 1, состоит из функций вида a
xj ej , где
,
. Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t и m на пространстве D (
) определён функционал
. В случае m = 0 его ещё можно записать «классическим» образом — при помощи интеграла, однако при m ³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D (
))c называются обобщёнными функциями (распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D