Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.

6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер , 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название — банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy || lb ||x || ||y ||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём — последовательное применение операторов — необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C (T ) с обычным умножением, L₁ (

) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их — класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G ), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.

Пусть

 — коммутативная (т. е. xy = ух для любых x , у ^I

 на М , причём сумме x + y и произведению xy соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм

 борелевских подмножеств G , инвариантная справа: для любых В ^I

, где c(h ) — характер группы G : непрерывная функция на G такая, что |c(h )| = 1 и c(h₁ h₂ ) = c(h₁ )c(h₂ ), d c — мера Хаара на группе характеров

, а

,

— обобщённое преобразование Фурье функций f (g ) и k (g ), которое продолжается до изоморфизма L₂ (G , dg ) в L₂ (

, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L₂ (G , dg ) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L₂ (G , dg ) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.

Если G =

, то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т^l , l ^I

 в гильбертовом пространстве Н допускает представление Т^l = exp i lA , где А — самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т'^l }. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Ф. а. — эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T^l не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.

Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Ки"iв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1—3, М., 1962—74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.

Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.

Функциональный анализ (хим.)

Функциона'льный ана'лиз (химический), совокупность химических и физических методов анализа (главным образом органических веществ), основанных на определении в молекулах реакционно-способных групп атомов (отдельных атомов) — т. н. функциональных групп. Такими группами являются, например, гидроксильная (—ОН), карбоксильная (

), нитрогруппа (—NO₂ ), аминогруппа (—NH₂ ) и др. Ф. а. служит для подтверждения предполагаемого строения вещества или механизма реакции, для установления процентного содержания в смеси отдельных соединений известного строения. В химических методах используются характерные реакции функциональных групп, например образование окрашенного комплекса при взаимодействии спиртов с гексанитратоцератом аммония ROH + (NH₄ )₂ Ce (NO₃ )₆ ® (NH₄ )₂ Ce (OR)(NO₃ )₅ + HNO₃ , восстановление нитрогруппы в аминогруппу, которая легко идентифицируется. Многие функциональные группы могут быть обнаружены и количественно оценены также методами ядерного магнитного резонанса, масс-спектрометрии, инфракрасной (ИК) спектроскопии; например, по специально разработанным диаграммам поглощения ИК излучения функциональными группами (карты Колтгепа) осуществляется идентификация последних, а по интенсивности поглощения производится оценка количественного их содержания.

Лит.: Бобранский Б., Количественный анализ органических соединений, пер. с польск., М., 1961; Терентьев А. П., Органический анализ. Избр. труды, М., 1966; Черонис Н. Д., Ма Т. С., Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа, пер. с англ., М., 1973; Климова В. А., Основные микрометоды анализа органических соединений, М., 1975.

Ю. А. Клячко.

Функциональный определитель

Функциона'льный определи'тель, определитель, элементами которого являются функции одного или многих переменных. Наиболее важные примеры Ф. о. — вронскиан , играющий важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений высшего порядка, гессиан, применяемый в теории алгебраических кривых, и якобиан , используемый при преобразовании кратных интегралов, установлении независимости системы функций и др. вопросах теории функций многих переменных. Производная Ф. о. D (x ) = |a_ik (x )| n– го порядка равна сумме n Ф. о., матрицы которых получаются из матрицы ||a_ik (x )|| соответственно дифференцированием элементов первого, второго,..., n– го столбца. Например, если

,

то

.

Иногда термин «Ф. о.» применяется для обозначения якобиана.

Функция (в языкознании)

Фу'нкция в языкознании, способность языковой формы к выполнению того или иного назначения (нередко синоним терминам «значение» и «назначение» языковой формы); зависимость или отношения между единицами языка, обнаруживаемые на всех уровнях его системы. Установление Ф. языковой единицы предполагает определение её роли в данном языке (системе языка), например у предложения могут быть выделены коммуникативная (сообщать о чём-то) и номинативная (называть это событие) Ф. Каждая языковая единица существует исключительно потому, что она, в отличие от др. языковой единицы, служит известной цели, т. е. выполняет определённую Ф. Выделяются многочисленные Ф. языковых единиц — отождествления, разграничения и различения, в соответствии с которыми различаются и сами единицы, например фонема служит различению разных слов и морфем или проведению границ между ними.

Ф. изучаются и рассматриваются не только при описании единиц языка, но и самого языка как системы. Основная Ф. языка: коммуникативная, или Ф. общения, познавательная, отражательная, перформативная, фатическая (установление контакта без установки на передачу информации), номинативная — наречение или называние предметов и явлений действительности, экспрессивная, или Ф. выражения, аппелятивная, или Ф. обращения. В числе Ф. языка указывают также на уровневые Ф. — фонологические, морфологические, грамматические и др. С функциональной точки зрения система языка есть многомерное образование, дифференцируемое как по формам проявления (устный и письменный язык), так и по социальной предназначенности (литературный язык, социальные диалекты, арго и пр.), по эстетической направленности (поэтический язык), по конкретным задачам общения (специальные терминологические системы).

Е. С. Кубрякова.

Функция (математ.)

Фу'нкция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у , то у называют (однозначной) функцией аргумента x . Иногда x называют независимой, а у — зависимой переменной. Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x ) или у = F (x ) и т. п. Если связь между x и у такова, что одному и тому же значению x соответствует вообще несколько (быть может даже бесконечное множество) значений у , то у называют многозначной Ф. аргумента x . Задать Ф. у = f (x ) значит указать:

1) множество А значений, которые может принимать x (область задания Ф.),

2) множество В значений, которые может принимать у (область значения Ф.), и

3) правило, по которому значениям x из А соотносятся значения у из В . В простейших случаях областью задания Ф. служит вся числовая прямая или её отрезок а lb x lb b (или интервал а < x < b ).