Большая Советская Энциклопедия (ГР)

Комбинируя действия умножения и сложения, графически вычисляют суммы произведений вида

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n

и взвешенное среднее

(a₁x₁ + ... + a_nx_n )/(a₁ + ... + а₂ ).

Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения.

Построение значений многочлена

f (x ) = a_{xⁿ + a1x^n-1 + ... + an-1x + an}

основано на представлении его в виде

f (x ) = {[(a_{x + a1 )х + а2 ]х + ...}х + аn}

и последовательном графическом выполнении действий, начиная с выражения, заключённого во внутренние скобки.

Графическое решение уравнения f (x ) = 0 заключается в вычерчивании графика функции у = f (x ) и нахождении абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox , которые и дают значения корней уравнения. Иногда решение можно значительно упростить, если представить уравнение в виде j₁ (x ) = j₂ (x ) и вычертить кривые y = j₁ (x ) и y = j₂ (x ). Корнями уравнения будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано нахождение корня x _).

Так, для решения уравнения третьей степени z³ + az² + bz + c = 0 его приводят к виду x³ + px + q = 0 заменой z = х — а /3, затем уравнение представляют в виде x³ = —px — q и вычерчивают кривую у = х³ и прямую у =—px — q . Точки их пересечения определяют корни x₁ , x₂ , x₃ уравнения. Построение удобно тем, что кубическая парабола у = х³ остаётся одной и той же для всех уравнений третьей степени. На рис. 4 решено уравнение x³ — 2,67x — 1 = 0. Его корни x₁ = —1,40, x₂ = — 0,40, x₃ = 1,80. Аналогично решается уравнение четвёртой степени z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0. Подстановкой z = x — a /4 его приводят к виду x⁴ + px³ + qx + s = 0 и затем переходят к системе уравнений: у = х² , (х – х _{)² + (у — у )² = r² , вводя переменное y . Здесь x = —q /2, у = (1 – р )/2 и}

 Первое уравнение даёт на плоскости параболу, одну и ту же для всех уравнений четвёртой степени, второе — окружность радиуса г , координаты центра x , y которой легко подсчитать по коэффициенту данного уравнения. На рис. 5 решено уравнение x⁴— 2,6x² — 0,8х — 0,6 = 0 (для него x = 0,4; y = 1,8, r = 2). Его корни x₁ = — 1,55, x₂ = 1,80. Как видно из рис. , уравнение др. действительных корней не имеет.

Графическое интегрирование. Вычисление определенного интеграла

 основано на замене графика подинтегральной функции y = f (x ) ступенчатой ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция aABb , площадь которой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу , на ряд полос — элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют отрезком, параллельным оси Ox , так, чтобы получающиеся прямоугольники имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь, ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников, т. е.

 Dx_k — длина основания k- гo прямоугольника, y_k — одно из значений функции у = f (x ) на отрезке Dx_k , равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за приближённое значение интеграла

 Сумму

 вычисляют графически так, как уже было указано. На рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления интеграла

 где функция y = f (x ) задана графиком AC ...C₄B . После разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через точки A₁ , ..., A₄ , построены прямоугольники. Высоты их, ординаты точек C , ..., C₄ , снесены на ось Оу . Полученные точки P , ..., P₄ соединены с точкой Р (OP = 1). Затем, начиная от точки а , построена ломаная aB₁ ... B₅ , звенья которой параллельны соответствующим отрезкам PP , PP₁ , ..., PP₄ . Величина интеграла численно равна ординате точки B₅ . Для построения графика первообразной функции y = f (x ), т. е.

 достаточно соединить плавной кривой вершины ломаной, получаемой при вычислении

 (на рис. 7 точки B , B₁ , ..., B₅ ).

Графическое дифференцирование . График производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных. График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке процесс графического интегрирования, изображенный на рис. 7 . Для этого график функции (рис. 8 ) разбивают на части прямыми, параллельными оси Оу и проведёнными через равные расстояния Dx. Через точки деления A₁ , A₂ , ... проводят отрезки AB₁ , A₂B₂ , …, параллельные оси Ox . Отрезки B₁A₁ , B₂A₂ , ... равны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox . По полученным точкам

 строят ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта кривая и является графиком производной.

Графическое интегрирование дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение первого порядка dy /dx = f (x , у ) определяет на плоскости поле направлений. Задача интегрирования уравнения заключается в проведении кривых, касательные к которым имеют направления поля. Различные приёмы графического интегрирования состоят в последовательном построении интегральных кривых по касательным, направления которых заданы, и в известной мере повторяют численные методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных уравнений).

Лит.: Головинин Д. Н., Графическая математика, М. — Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических вычислений, пер. с нем., М. — Л., 1932.

М. В. Пентковский.

Графическое решение уравнения j₁ (x ) = j₂ (x ).

Рис. 8. Графическое дифференцирование.

Рис. 1. Изображение чисел 1, 3 и —4 направленными отрезками на прямой.

Рис. 2. Графическое умножение и деление: с = аb , b = с /а .

Рис. 6—7. Графическое интегрирование.

Рис. 4. Графическое решение кубического уравнения x³ — 2,67х — 1 = 0.

Рис. 5. Графическое решение уравнения 4-йстепени: x⁴ — 2,6x² — 0,8x — 0,6 = 0.

Графические методы

Графи'ческие ме'тоды в управлении производством, совокупность способов условного (графического) изображения какого-либо организационного или управленческого явления на производстве. Впервые применены американскими инженерами ф. У. Тейлором и Г. Л. Гантом в начале 20 в. в качестве одного из методов организации руководства производством. В СССР Г. м. в управлении производством начали применять в 20-х гг.

С помощью Г. м. решаются задачи моделирования процессов управления, выявляются и рационализируются взаимосвязи между различными факторами, определяются расчётные показатели и нормативы, выполняются контроль и учёт, группировка и классификация хозяйственных операций, информация представляется в наглядном виде.

В управлении производством используются графики иллюстративно-информационные, оперативные, аналитические и расчётные. Иллюстративно-информационные содержат строго подобранные и предварительно проанализированные данные, отражающие фактическое состояние управляемых процессов (рис. 1 , 2 и 8, А); оперативные графики служат для быстрого принятия решений и содержат для этого всю сумму информации на определенный момент (рис. 8 , Б); аналитические графики содержат сведения, полученные после логической и математической обработки данных (рис. 3 ); расчётные графики (например, номограммы ) несут информацию, позволяющую получать функцию, зависящую от большого числа переменных.