Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

Термин «Л. п.» нельзя признать удачным, однако смысл его в том, что в Л. п. решаются задачи составления оптимальной программы (плана) действий. В связи с этим Л. п. можно рассматривать как один из математических методов в исследованиях операций (см. Операций исследование).

Функцию (1) в Л. п. принято называть целевой функцией, или критерием эффективности, вектор х = (x₁, x₂, ..., x_n) — планом, вектор x*=(x*₁, x*₂, ..., x*_n) — оптимальным планом, а множество, определяемое условиями (2) — (3), — допустимым, или множеством планов. Одним из основных методов решения задач Л. п. является симплексный метод. Геометрически его идея состоит в следующем. Допустимое множество (2) — (3) представляет собой выпуклое многогранное множество (если оно ограничено, то — многомерный выпуклый многогранник). Если задача Л. п. имеет решение, то существует вершина х* многогранного множества, являющаяся оптимальным планом. Симплексный метод состоит в таком направленном переборе вершин, при котором значение целевой функции возрастает от вершины к вершине. Каждой вершине соответствует система уравнений, выбираемая спец. образом из системы неравенств (2) — (3), поэтому вычислительная процедура симплексного метода состоит в последовательном решении систем линейных алгебраических уравнений. Простота алгоритма делает этот метод удобным для его реализации на ЭВМ.

Лит.: Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г., Линейное программирование, М., 1969.

В. Г. Карманов.

Линейное пространство

Лине'йное простра'нство, тоже, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространствои пространство С [а, b] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, b]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х — неотрицательное число

, обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами

 и

 (неравенство треугольника). Число

 называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени P_k-i(t), чтобы

 

имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

=

 

эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен P_{k– i}(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой

,

и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы

 и

 существенно различны, так как, например, последовательность функций

по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

.

Следует отметить, что хотя все функции x_n(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы

. При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {x_n} его элементов, удовлетворяющих условию

,

существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

,

Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой

, получают гильбертово пространство L²_p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

Обобщением понятия B– пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

Линейное судоходство

Лине'йное судохо'дство, см. Морские линии.

Линейное уравнение

Лине'йное уравне'ние, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c₁, c₂, ..., c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

ax = b;

решением его при а ¹ 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

 (1)

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

,

;

здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель

 отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b₁, b₂; в выражении для первого неизвестного x₁ заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x₂ — второй.