Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О — центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.

2) Представление о Л. как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

x = R cos t, y = R sin t.

Когда параметр t пробегает отрезок 0 lb t lb 2p, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

x = j (t), у =

(t),

где j (t),

(t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M₁ соответствует значению параметра t₁, а точка M₂ — значению t₂, то M₁ считается предшествующей M₂, если t₁ < t₂ При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

Аналогично, в трёхмерном пространстве Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида

x = j (t), у =

(t), z = c (t),

где j (t),

(t), c (t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространствеТ (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида

P = j (t),

где j — функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше).

В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а lb t lb b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления

Р = j (t), a lb t lb b

P = j₁(t₁), a₁lb t₁lb b₁,

изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

t₁ = f(t),

для которой

f(a) = a₁, f(b) = b₁, j (t) = j₁[f(t)].

Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

Например, при изменении t в пределах — yen < t < yen точка с координатами

,

описывает строфоиду (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = — 1 и t = + 1.

3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

F(x, y) = 0;

в пространстве — двумя уравнениями

F(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.

Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) — Л., определяемой уравнением

F(x, y) = 0,

где F(x, у) —целая алгебраическая функция, т. е. многочлен како-либо степени n &sup3; 1. В этом случае считают, что два многочлена F₁(x, у) и F₂(x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с &sup1; 0, что выполняется тождественно соотношение

F₁(x, y) = cF₂(x, у).

Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

(х - у)² = 0

определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х — у = 0.

В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н — отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

Говорят, что точка (x_{, y) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F}