Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

Трактриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:

.

Цепная линия (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у = a

= а (e^x/a + е^{– х/a})/2.

Циклоида (от греч. kykloeides — кругообразный) (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4а), если она лежит внутри круга (r > а), — укороченную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4б), если точка вне круга (r < а), — удлинённую циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4в). Две последние Л. называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:

,

.

Среди трансцендентных Л. особый класс составляют спирали (от греч. sp'eira, буквально — витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны:

Архимедова спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r = aj, где а — постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.

Гиперболическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r = а/j.

Жезл (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 7), кривая, уравнение которой в полярных координатах:

. Каждому значению j соответствуют два значения r — положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.

Логарифмическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = ае^кj. Была известна многим математикам 17 в.

Спираль Корню (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:

, y = a

.

Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.

Si-ci-спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 10), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид

,

,

si(t) и ci(t) — интегральный синус и интегральный косинус.

К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:

Гипоциклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 1а, 1б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Уравнение в параметрической форме:

,

,

где А — радиус неподвижной, а а — подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.

Эпициклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 2а, 2б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на — а.

Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 3а, 4д). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 3б, 4б). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.

В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.

Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. — Л., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1—2, Lpz. — B., 1910—11.

Алгебраические кривые третьего порядка: 1 — декартов лист; 2 — локон Аньези; 3 — кубическая парабола; 4 — полукубическая парабола; 5 — строфоида; 6 — циссоида Диоклеса.

Алгебраические кривые четвёртого и более высоких порядков: 1 — кардиоида; 2 — конхоида Никомеда; 3 — лемниската Бернулли: 4 — овалы Декарта; 5 — овалы Кассини; 6 — улитка Паскаля; 7 — астроида; 8 — розы; 9 — синус-спираль.

Циклоидальные кривые: 1 а, б — гипоциклоиды; 2 а, б — эпициклоиды; 3 а — удлинённая гипоциклоида; 3 б — укороченная гипоциклоида; 4а — удлинённая эпициклоида; 4б — укороченная эпициклоида.