Большая Советская Энциклопедия (МА)

С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механических величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраического аппарата, продолжали быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров.

К последней трети 17 века относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу, давшему развёрнутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682—86. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в течение 1665—66. «Анализ с помощью уравнений» И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди английских математиков. «Метод флюксий» — сочинение, в котором И. Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, — был написан в 1670—71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (так называемая формула Ньютона — Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона исходными понятиями являются понятия «флюенты» (переменной величины) и её «флюксий» (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, то есть сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения

dy/dx = f(x) .

Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя математического естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий исчисление ). Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие «момента», стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли , Г. Лопиталь и другие. Здесь создаётся современный стиль математической работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных.

Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия , в 17 веке закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии главным образом в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Из других открытий 17 века следует отметить исследования по теории чисел (Б. Паскаль , П. Ферма); разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения — открытием простейшей формы больших чисел закона (Я. Бернулли, опубликован в 1713). Необходимо указать ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673—74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.

18 век. В начале 18 века общий стиль математических исследований постепенно меняется. Успех 17 века, обусловленный в основном новизной метода, создавался главным образом смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К началу 18 века развитие новых областей М., созданных в 17 веке, достигло того уровня, при котором дальнейшее продвижение вперёд стало требовать в первую очередь искусства в овладении математическим аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух величайших математиков 18 века Л. Эйлер является наиболее ярким представителем этой виртуозной тенденции, а Ж. Лагранж , быть может, уступая Л. Эйлеру в количестве и разнообразии решенных задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для французской математической школы 2-й половины 18 века, тесно связанной с большим философским движением французских просветителей и материалистов. Увлечение необычайной силой аппарата математического анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматического развития, в безошибочность математических выкладок даже тогда, когда в них входят символы, лишённые смысла. Если при создании анализа бесконечно малых сказывалось неумение логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто проповедуется право вычислять по обычным правилам лишённые непосредственно смысла математические выражения, не опираясь ни на наглядность, ни на какое-либо логическое оправдание законности таких операций. Из старшего поколения в эту сторону всё больше склоняется Г. Лейбниц, который в 1702 по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые выражения говорит о «чудесном вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реалистически настроенный Л. Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами как эмпирический факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий. Хотя работа по рациональному уяснению основ анализа бесконечно малых была начата, систематическое проведение логического обоснования анализа было осуществлено лишь в 19 веке.

Если виднейшие математики 17 века очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 веке научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 века — это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математическими способностями, с быстро развивающейся академической карьерой (Л. Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашен адъюнктом в Петербургскую академию наук, 23 лет становится там же профессором, 39 лет — председателем физико-математического класса Берлинской академии наук; Ж. Лагранж — сын французского чиновника, 19 лет — профессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математического класса Берлинской академии наук; П. Лаплас — сын французского крестьянина, 22 лет — профессор военной школы в Париже, 36 лет — член Парижской академии наук). При этом, однако, математическое естествознание (механика, математическая физика) и технические применения М. остаются в сфере деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Ж. Лагранж создаёт основы аналитической механики, П. Лаплас, считавший себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени и так далее.

М. 18 века обогатилась многими выдающимися результатами. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематической науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубликовано в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772, опубликован в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов . Он же привлек (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию , чем положил начало аналитической теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737, опубликовано в 1744) иррациональность е и e² , а И. Ламберт (1766, опубликовано в 1768) — иррациональность p. В алгебре Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители. Л. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраического уравнения корня вида

. Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда приводимы к виду

. Ж. Д’Аламбер доказал (1748), что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (так называемая лемма Д’Аламбера), считая это за доказательство существования корня у любого алгебраического уравнения. Формулы А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрическую функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг , Л. Эйлер и П. Лаплас заложили основы конечных разностей исчисления . Б. Тейлор открыл (1715) свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 века, особенно у Л. Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Ж. Д’Аламбера начинается серьёзное изучение условий сходимости рядов. Л. Эйлер, Ж. Лагранж и особенно А. Лежандр заложили основы исследования эллиптических интегралов — первого вида неэлементарных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям, в частности Л. Эйлер дал (1739, опубликован в 1743) первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами, Ж. Д’Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Ж. Лагранж и П. Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г. Монж и Ж. Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Л. Эйлер, Г. Монж и П. Лаплас — второго порядка. Специальный интерес представляет введение в анализ разложения функций в тригонометрические ряды, так как в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли , Ж. Д’Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты 19 века о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 веке, является вариационное исчисление, созданное Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас на основе отдельных достижений 17—18 веков заложили начала вероятностей теории .

В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналитической геометрии. В работах Л. Эйлера, А. Клеро , Г. Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж придал окончательную форму начертательной геометрии .

Из приведённого обзора видно, что М. 18 века, основываясь на идеях 17 века, по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет М. был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдалённость крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с которой все они, начиная с Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования, трактаты.

III. Современная математика

Все созданные в 17 и 18 веках разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 веках. Чрезвычайно расширился за это время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 века и в начале 19 века в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

1. Расширение предмета математики

Накопленный в 17 и 18 веках огромный фактический материал привёл к необходимости углублённого логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и французский математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени (Н. Абель , 1824), разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание Н. И. Лобачевским (1826, опубликовано в 1829—30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 веков новых тенденций в развитии М.

Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 века центральное положение во всём математическом анализе.

Другим замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского (см. Лобачевского геометрия ).

Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в конце 18 века и 1-й половине 19 века пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математических фактов нашёл во 2-й половине 19 века и в 20 веке мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830—32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени. В середине 19 века А. Кэли дал общее «абстрактное» определение группы. С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп . И лишь после этого Е. С. Федоров (1890) и немецкий учёный А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.