Большая Советская Энциклопедия (МА)
Шрифт:
Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и другие). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А. Пуанкаре и другие), вопросы устойчивости , особенно глубоко изученные А. М. Ляпуновым .
Качественная теория дифференциальных
Теория дифференциальных уравнений с частными производными ещё в конце 19 века получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитическая теория, восходящая к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской , не теряет при этом своего значения, но несколько отступает на задний план, так как обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, то есть возможности приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо, в то время как без этой возможности теоретическое решение не имеет практической ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитической теории: краевые задачи, которые можно корректно ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными (см. Корректные и некорректные задачи ). Наиболее надёжным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное обращение к соответствующим физическим представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными главным образом в теорию уравнений математической физики имело большое положительное значение. Работы по отдельным типам уравнений математической физики справедливо составляют значительную часть всей математической продукции. После П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математической физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Дж. Рэлей , У. Томсон , К. Нейман , Д. Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов и другие.
Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей. Если в начале 19 века главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 века и в начале 20 века теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистической физики и механики и разработке аппарата математической статистики . Наиболее глубокие теоретические исследования по общим вопросам теории вероятностей в конце 19 века и в начале 20 века принадлежат русской школе (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов).
Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В конце 19 века и в начале 20 века численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и другие) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества таблиц математических .
Со 2-й половины 19 века начинается интенсивная разработка вопросов истории М.
По материалам статьи А. Н. Колмогорова из 2-го издания БСЭ.
Заключение. Выше были отмечены основные особенности современной М. (п. 1) и были перечислены (п. 2) основные направления исследований М. по разделам, как они сложились в начале 20 века. В значительной мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие М. в 20 веке, особенно после окончания 2-й мировой войны 1939—45. Современное состояние М. и заслуги научных школ и отдельных учёных отражены в соответствующих статьях. См. Чисел теория , Алгебра , Логика , Геометрия , Топология , Функций теория , Функциональный анализ , Дифференциальные уравнения , Уравнения математической физики , Вероятностей теория , Математическая статистика , Вычислительная математика .
Потребности развития самой М., «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (см., например, Алгоритмов теория , Информации теория , Игр теория , Операций исследование , см. также Кибернетика ).
На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа , графов теории , теории кодирования возникла дискретная, или конечная математика .
Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления , близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр .
Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.
Советская М. занимает передовое место в мировой математической науке. Во многих направлениях работы советских учёных играют определяющую роль. Успехи дореволюционной русской М. были связаны с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математические центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петербургской школы. После Великой Октябрьской социалистической революции ряд новых важных направлений возник в московской математической школе. В дореволюционной России основными центрами математических исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и другие). Развитие научных исследований в области М. и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значительной мере сконцентрированы в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих университетах. Важной чертой развития М. в нашей стране является возникновение за годы Советской власти многочисленных научных школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области М. Таковы математические школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и других городах и созданная в 60-х годах научная школа в Академгородке, близ Новосибирска.
В зарубежных странах математические исследования ведутся как в математических институтах, так и в университетах (особенно в капиталистических странах).
Ещё на рубеже 17—18 веков появились первые математические общества , имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математической науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах . Организация и поощрение международного сотрудничества в области М., подготовка научных программ международных математических конгрессов и др. является задачей международного математического союза . Текущие математические исследования (а также информация о математической жизни в различных странах) публикуются в математических журналах , общее число которых (начало 70-х годов 20 века) более 250.
Лит.: Философия и история математики. Колмогоров А. Н., Математика, в книге: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954; Математика, её содержание, методы и значение, т. 1—3, М., 1956; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, перевод с французского, 2 изд., М. — Л., 1938; его же. История математики в XVI и XVII веках, перевод с немецкого, 2 изд., М. — Л., 1938; Ван-дер-Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции, перевод с голландского, М., 1959; Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, перевод с немецкого, 2 изд., М., 1966; его же, Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам..., перевод с немецкого, 2 изд., М. — Л., 1935; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, перевод с немецкого, ч. 1, М. — Л., 1937; Рыбников К. А., История математики, т. 1—2, М., 1960—63; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод с французского, М., 1963; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, перевод с немецкого, 2 изд., М., 1969: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970—72; Cantor М., Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik, 3 Aufl., Bd 1—4, Lpz., 1907—13.