Большая Советская Энциклопедия (ОТ)

Преобразования Лоренца

Рассмотренные выше активные преобразования непосредственно связаны с пассивными преобразованиями, описывающими связь между координатами и временем данного события в двух различных и. с. о. В силу принципа относительности безразлично, сообщить ли телу скорость V по отношению к данной и. с. о. L или перейти к системе отсчёта L c, движущейся со скоростью V относительно L , — закон преобразования координат и времени должен быть одним и тем же.

Вследствие справедливости симметрий 1—4, преобразования, связывающие координаты и времена событий х , у , z , t и х’ , у’ , z’ , t’ , измеренные в двух и. с. о. L и L’ , должны быть линейными. Из симметрий 1—4 и требования, чтобы преобразования составляли группу, можно получить вид этих преобразований. Если система отсчёта L ’ движется относительно L со скоростью V , то при надлежащем выборе осей координат и начал отсчёта времени в L и L’ (оси х и х’ совпадают и направлены по V , оси у и у’ , z и z’ соответственно параллельны, начала координат О и О’ совпадают при t = 0 и часы в L’ установлены так, что при t = 0 часы в О’ показывают время t’ = 0) преобразования координат и времени имеют вид:

,

 

,

 , (2)

где с – произвольная постоянная, имеющая смысл предельной скорости движения (равной скорости света в вакууме). Эта постоянная может быть определена из любого эффекта О. т. (например, замедления времени распада быстрого p-мезона). Справедливость кинематики и динамики, основанных на преобразованиях (2), подтверждена неисчислимой совокупностью экспериментальных фактов.

Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращения вокруг начала координат образуют группу Лоренца; добавление к ней сдвигов во времени t’ = t + а и в пространстве х’ = х + b (где a , b произвольные постоянные размерности времени и длины) даёт группу Пуанкаре.

Из принципа относительности вытекает, что физические законы должны иметь одинаковую форму во всех и. с. о.; следовательно, они должны сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Это требование называется принципом (постулатом) релятивистской инвариантности, или лоренц-инвариантности (лоренц-ковариантности), законов природы.

Из преобразований Лоренца вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Если частица или сигнал движется в L по оси х со скоростью u , то в момент tx = ut и скорость частицы u’ = x’ / t’ , измеряемая в системе L’ , равна:

(3)

Эта формула отражает основную черту релятивистской кинематики — независимость скорости света от движения источника. Действительно, если скорость света, испущенного покоящимся в некоторой и. с. о. L источником, есть с , u = с , то из закона сложения скоростей (2) получаем, что измеренная в и. с. о. L’ скорость света u’ также равна с . Так как направление оси х произвольно, то отсюда следует независимость скорости света от движения источника. Это свойство скорости света однозначно определяет вид преобразований Лоренца: постулировав независимость скорости света от движения источника, однородность пространства и времени и изотропию пространства, можно вывести преобразования Лоренца.

Особая роль скорости света в О. т. связана с тем, что она является предельной скоростью распространения сигналов и движения частиц, достигаемой при энергии частицы, стремящейся к бесконечности, или массе, стремящейся к нулю; если бы масса покоя m_g фотона оказалась хотя и очень малой, но отличной от нуля (экспериментально установлено, что m _g < 4x10^–21m_e , где m_e — масса электрона), то скорость света была бы меньше предельной. Чтобы предельная скорость вообще могла существовать, она не должна зависеть от движения источника частиц.

Из преобразований Лоренца легко получить основные эффекты О. т.: относительность одновременности, замедление времени, сокращение продольных размеров движущихся тел. Действительно, события 1, 2, одновременные в одной и. с. о. L : t ₁ = t ₂ и происходящие в разных точках x ₁ , x ₂ , оказываются неодновременными в другой и. с. о. L’ :

. Далее, когда часы, покоящиеся в L в точке х = 0, показывают время t , то время t’ по часам в L’ , пространственно совпадающим с часами в L в этот момент времени, есть

 (4)

или

 (4, а)

т. е. с точки зрения наблюдателя в L’ часы в L отстают. В силу принципа относительности отсюда следует, что с точки зрения наблюдателя в L’ , все процессы в L замедлены в такое же число раз.

Легко получить также, что размеры l всех тел, покоящихся в L , оказываются при измерении в L’ сокращёнными в

 раз в направлении V :

 (5)

В частности, продольный диаметр сферы, движущейся со скоростью u относительно L’ , будет при измерении в L c в

 раз короче, чем поперечный. (Заметим, что это сокращение не обнаружилось бы на мгновенной фотографии сферы: из-за различного запаздывания световых сигналов, приходящих от разных точек сферы, её видимая форма остаётся прежней.)

Для и. с. о. пространственно-временные эффекты, определяемые преобразованиями Лоренца, относительны: с точки зрения наблюдателя в L замедляются все процессы и сокращаются все продольные масштабы в L’ . Однако это утверждение несправедливо, если хотя бы одна из систем отсчёта неинерциальна. Если, например, часы 1 перемещаются относительно L из А в В со скоростью u , а потом из В в А со скоростью — u , то они отстанут по сравнению с покоящимися A часами 2 в

 раз; это можно обнаружить прямым сравнением, так что эффект абсолютен. Он должен иметь место для любого процесса; например, близнец, совершивший путешествие со скоростью u , вернётся в

 раз более молодым, чем его брат, остававшийся неподвижным в и. с. о. Это явление, получившее название «парадокса близнецов», в действительности не содержит парадокса: система отсчёта, связанная с часами 1, не является инерциальной, т.к. эти часы при повороте в В испытывают ускорение по отношению к инерциальной системе; поэтому часы 1 и 2 неравноправны.

При малых скоростях u преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея x’ = x – ut , y ’ = y , z’ ’ = z , t ’ = t , которые описывают связь между картинами различных наблюдателей, известную из повседневного опыта: размеры предметов и длительность процессов одинаковы для всех наблюдателей.