Большая Советская Энциклопедия (ТО)

2. Равномерная топология

Часть Т., изучающая аксиоматическое понятие равномерной непрерывности, называется равномерной Т. Известное из анализа определение равномерной непрерывности числовых функций непосредственно переносится на отображения любых метрических пространств. Поэтому аксиоматику равномерной непрерывности обычно получают, отталкиваясь от метрических пространств. Подробно исследованы два аксиоматических подхода к равномерной непрерывности, основанных соответственно на понятиях близости и окружения диагонали.

Подмножества А и В метрических пространства Х называются близкими (обозначение A dB ), если для любого e > 0 существуют точки a ^I А и b ^I В, расстояние между которыми < e. Принимая основные свойства этого отношения за аксиомы, приходят к следующему определению: (отделимой) структурой близости на множестве Х называется такое отношение d на множестве всех его подмножеств, что: 1) AE

X (символом

обозначается отрицание отношения d; 2) A

B₁ и A

B₂ ^U A

(B₁ U B₂ ); 3) {x }

{y } ^U x &sup1; y ; 4) если А

В , то существует такое множество С

В , что А

(Х \С ). Множество, в котором задана структура близости, называется пространством близости. Отображение пространства близости Х в пространство близости Y называется близостно непрерывным, если образы близких в Х множеств близки в Y . Пространства близости Х и Y называются близостно гомеоморфными (или эквиморфными), если существует взаимно однозначное близостно непрерывное отображение X ® Y , обратное к которому также является близостно непрерывным (такое близостно непрерывное отображение называется эквиморфизмом). В равномерной Т. эквиморфные пространства близости рассматриваются как одинаковые. Подобно метрическим пространствам, любое пространство близости можно превратить в (хаусдорфово) топологическое пространство, считая подмножество u `I x открытым, если {x }

(X \U ) для любой точки х ^I U . При этом близостно непрерывные отображения окажутся непрерывными отображениями. Класс топологических пространств, получающихся описанным образом из пространств близости, совпадает с классом вполне регулярных топологических пространств. Для любого вполне регулярного пространства Х все структуры близости на X , порождающие его топологическую структуру, находятся во взаимно однозначном соответствии с так называемыми компактификациями (в другой терминологии — би-компактными расширениями) вХ — компактными хаусдорфовыми топологическими пространствами, содержащими Х в качестве всюду плотного пространства. Структура близости d, соответствующая расширению вХ, характеризуется тем, что А dВ тогда и только тогда, когда замыкания множеств А и В пересекаются в bX . В частности, на любом компактном хаусдорфовом топологическом пространстве Х существует единственная структура близости, порождающая его топологическую структуру.

Другой подход основан на том, что равномерную непрерывность в метрическом пространстве Х можно определить в терминах отношения «точки х и у находятся на расстоянии, не большем e». С общей точки зрения, отношение на Х есть не что иное как произвольное подмножество U прямого произведения Х ' X . Отношение «тождество» является с этой точки зрения диагональю D `I Х ' X , то есть множеством точек вида (х, х ), х ^I X. Для любого отношения U определено обратное отношение U<sup>—1</sup> = {(х, у ); (у, х ) ^I U } и для любых двух отношений U и V определена их композиция U x V = {(х, у ); существует z ^I Х такое, что (х, z ) ^I U , (z, y ) ^I V }. Семейство отношений {U } называется (отделимой) равномерной структурой на Х (а отношения U называется окружениями диагонали), если: 1) пересечение любых двух окружений диагонали содержит окружение диагонали; 2) каждое окружение диагонали содержит D, и пересечение всех окружений диагонали совпадает с D; 3) вместе с U окружением диагонали является и U<sup>—1</sup> ; 4) для любого окружения диагонали U существует такое окружение диагонали W , что W o W `I U . Множество, наделённое равномерной структурой, называется равномерным пространством. Отображение f : X ® Y равномерного пространства Х в равномерное пространство Y называется равномерно непрерывным, если прообраз при отображении f ' f : Х ' Х ® Y ' Y любого окружения диагонали V `I Y ' Y содержит некоторое окружение диагонали из Х ' X . Равномерные пространства Х и Y называются равномерно гомеоморфными, если существует взаимно однозначное равномерно непрерывное отображение Х ® Y , обратное к которому также является равномерно непрерывным отображением.

В равномерной Т. такие равномерные пространства считаются одинаковыми. Каждая равномерная структура на Х определяет некоторую структуру близости: А dВ тогда и только тогда, когда (A ' В ) C U &sup1; AE для любого окружения диагонали U `I X ' X . При этом равномерно непрерывные отображения оказываются близостно непрерывными.

3. Алгебраическая топология

Пусть каждому топологическому пространству Х (из некоторого класса) поставлен в соответствие некоторый алгебраический объект h(X) (группа, кольцо и т.п.), а каждому непрерывному отображению f : X ® Y — некоторый гомоморфизм h(f) : h(X) ® h(Y) (или h(f) : h(Y) ® h(X), являющийся тождественным гомоморфизмом, когда f представляет собой тождественное отображение. Если h(f₁

 f₂ )= h(f₁ )

 h(f₂ ) (или, соответственно, h(f₁

 f₂ )= h(f₂ )

h(f₁ ), то говорят, что h представляет собой функтор (соответственно кофунктор). Большинство задач алгебраической Т. так или иначе связано со следующей задачей распространения: для данного непрерывного отображения f : A ® Y подпространства A `I Х в некоторое топологическое пространство Y найти непрерывное отображение g : X ® Y , совпадающее на A с f , то есть такое, что f=gxi , где i:А ® Х— отображение вложения (i(a) = а для любой точки а ^I A ). Если такое непрерывное отображение g существует, то для любого функтора (кофунктора) h существует такой гомоморфизм (j: h(X) ® h(Y) (гомоморфизм j: h(Y) ® h(X) ), что h(f) = j

 h(i) (соответственно h(f) =h(i)

 j); им будет гомоморфизм j = h(g) . Следовательно, несуществование гомоморфизма j (хотя бы для одного функтора h ) влечёт несуществование отображения g . К этому простому принципу могут быть фактически сведены почти все методы алгебраических Т. Например, существует функтор h , значение которого на шаре E ⁿ является тривиальной, а на ограничивающей шар сфере S ^n—1 — нетривиальной группой. Уже отсюда следует отсутствие так называемой ретракции — непрерывного отображения р : E ⁿ ® S ^n—1 , неподвижного на S ^n—1 , то есть такого, что композиция рxi, где i : S ^n-1 ® E ⁿ — отображение вложения, представляет собой тождественное отображение (если р существует, то тождественное отображение группы h(S ^n—1 ) будет композицией отображений h(i) : h(S ^n—1 ) ® h(E ⁿ ) и h(p) : h(E ⁿ ) ® h(S ^n—1 ), что при тривиальной группе h(E ⁿ ) невозможно). Однако этот, по существу, элементарно-геометрический и (при n= 2) наглядно очевидный факт (физически означающий возможность натянуть на круглый обруч барабан) до сих пор не удалось доказать без привлечения алгебраико-топологических методов. Его непосредственным следствием является утверждение, что любое непрерывное отображение f : E ⁿ ® E ⁿ имеет хотя бы одну неподвижную точку, то есть уравнение f(x) = х имеет в E ⁿ хотя бы одно решение (если f(x) &sup1; x для всех х ^I E ⁿ , то, приняв за р(х) точку из S ^n—1 , коллинеарную точкам f(x) и х и такую, что отрезок с концами f(x) и р(х) содержит х , получим ретракцию р : E ⁿ ® S ^n—1 ). Эта теорема о неподвижной точке была одной из первых теорем алгебраической Т., а затем явилась источником целой серии разнообразных теорем существования решений уравнений.

Вообще говоря, установление несуществования гомоморфизма (j тем легче, чем сложнее алгебраическая структура объектов h(X). Поэтому в алгебраических Т. рассматриваются алгебраические объекты чрезвычайно сложной природы, и требования алгебраической топологии существенно стимулировали развитие абстрактной алгебры.

Топологическое пространство Х называется клеточным пространством, а также клеточным разбиением (или CW– комплексом), если в нём указана возрастающая последовательность подпространств X `I &frac14; `I X ^n—1 `I X <sup>n</sup> `I &frac14; (называется остовами клеточного пространства X ), объединением которых является всё X , причём выполнены следующие условия: 1) множество U `I X тогда и только тогда открыто в X , когда для любого n множество U C X ⁿ открыто в X ⁿ ; 2) X ⁿ получается из X ^n—1 приклеиванием некоторого семейства n– мepных шаров по их граничным (n— 1)-мepным сферам (посредством произвольного непрерывного отображения этих сфер в X ^n—1 ); 3) X состоит из изолированных точек. Таким образом, структура клеточного пространства состоит, грубо говоря, в том, что оно представлено в виде объединения множеств, гомеоморфных открытым шарам (эти множества называются клетками). В алгебраических Т. изучаются почти исключительно клеточные пространства, поскольку специфика задач алгебраических Т. для них уже полностью проявляется. Более того, фактически для алгебраических Т. интересны некоторые особо простые клеточные пространства (типа полиэдров , см. ниже), но сужение класса клеточных пространств, как правило, существенно осложняет исследование (поскольку многие полезные операции над клеточными пространствами выводят из класса полиэдров).

Два непрерывных отображения f, g : X ® Y называются гомотопными, если они могут быть непрерывно продеформированы друг в друга, то есть если существует такое семейство непрерывных отображений f_t : X ® Y, непрерывно зависящих от параметра t ^I [0, 1], что f = f и f₁ = g (непрерывная зависимость от t означает, что формула F(x, t) = f_t (x), х ^I X , t ^I [0, 1] определяет непрерывное отображение F : Х ' [0, 1] ® Y ; это отображение, а также семейство {f_t } называют гомотопией, связывающей f с g ). Совокупность всех непрерывных отображений X ® Y распадается на гомотопические классы гомотопных между собой отображений. Множество гомотопических классов непрерывных отображений из Х в Y обозначается символом [X , Y ]. Изучение свойств отношения гомотопности и, в частности, множеств [X , Y ] составляет предмет так называемой гомотопической топологии (или теории гомотопий). Для большинства интересных топологических пространств множества [X , Y ] конечны или счётны и могут быть в явном виде эффективно вычислены. Топологические пространства Х и Y называются гомотопически эквивалентными, или имеющими один и тот же гомотопический тип, если существуют такие непрерывные отображения f : Х ® Y и g : Y ® Х , что непрерывные отображения gxf : Х ® Х и fxg : Y ® Y гомотопны соответствующим тождественным отображениям. В гомотопической Т. такие пространства следует рассматривать как одинаковые (все их «гомотопические инварианты» совпадают).

Оказывается, что во многих случаях (в частности, для клеточных пространств) разрешимость задачи распространения зависит только от гомотопического класса непрерывного отображения f : A ® Y ; точнее, если для f распространение g : Х ® Y существует, то для любой гомотопии f_t : A ® Y(с f _{= f)}