Большая Советская Энциклопедия (ТО)

существует распространение g_t : Х ® Y такое, что g = g . Поэтому вместо f можно рассматривать его гомотопический класс [f] и в соответствии с этим изучать лишь гомотопически инвариантные функторы (кофункторы) h , то есть такие, что h(f ₎ = h(f₁ ), если отображения f и f₁ гомотопны. Это приводит к настолько тесному переплетению алгебраической и гомотопической Т., что их можно рассматривать как единую дисциплину.

Для любого топологического пространства Y формулы h(X) = [X , Y ] и h(f)= [j

f], где f : X₁ ® X₂ и j : X₂ ® Y, определяют некоторый гомотопически инвариантный кофунктор h , о котором говорят, что он представлен топологическим пространством Y . Это — стандартный (и по существу единственный) приём построения гомотопических инвариантных кофункторов. Чтобы множество h (X ) оказалось, скажем, группой, нужно У выбрать соответствующим образом, например потребовать, чтобы оно было топологической группой (вообще говоря, это не совсем так: необходимо выбрать в Х некоторую точку x и рассматривать лишь непрерывные отображения и гомотопии, переводящие x в единицу группы; это техническое усложнение будет, однако, в дальнейшем игнорироваться). Более того, достаточно, чтобы Y было топологической группой «в гомотопическом смысле», то есть чтобы аксиомы ассоциативности и существования обратного элемента (утверждающие фактически совпадение некоторых отображений) выполнялись бы только «с точностью до гомотопии». Такие топологические пространства называются Н– пространствами. Таким образом, каждое Н– пространство Y задаёт гомотопически инвариантный кофунктор h(X) = [X , Y ], значениями которого являются группы.

Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X)= [Y , X ], h(f) = [f

j], где f : X₁ ® X₂ и j : Y ® X₁ , некоторый функтор h . Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н– пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н– пространствами. Примером ко-Н- пространства является n– мepная сфера S ⁿ (при n ³ 1 ). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула p_nX= [S ⁿ , X ] определяет некоторую группу p_nX , n ³ 1 , которая называется n– й гомотопической группой пространства X . При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа p_nX коммутативна. Если p₁X = {1}, то Х называется односвязным.

Клеточное пространство Х называется пространством K (G, n ), если p_i(X)= 0 при i ¹ n и p_nX = G ; такое клеточное пространство существует для любого n ³ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K (G, n ) оказывается Н– пространством и потому представляет некоторую группу H ⁿ(X ; G) = [X ; K(G, n) ]. Эта группа называется n– мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G . Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К– функтор KO(X) = [Х , BO ], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO , группы ориентированных кобордизмов WⁿX и т.п.

Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H ⁿ (X; G) является

алгеброй над G . Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Z_p , где Z_p — циклическая группа порядка р ) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры

_p , называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H ⁿ (X; G), а с другой — установить связи между группами H ⁿ (X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами p_nX ), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.

Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий H_n (X; G) , являющиеся гомотопическими группами p_nM(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G) , однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G . Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.

Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.

4. Кусочно-линейная топология

Подмножество Р ^I

 называется конусом с вершиной а и основанием В , если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab , где b ^I В. Подмножество Х ^I

 называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f : X ® Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х ^I X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.

Подмножество Х ^I

 тогда и только тогда является (компактным) полиэдром, когда оно представляет собой объединение (конечного) семейства выпуклых многогранников. Любой полиэдр может быть представлен в виде объединения симплексов , пересекающихся только по целым граням. Такое представление называют триангуляцией полиэдра. Каждая триангуляция однозначно определена её симплициальной схемой, то есть множеством всех её вершин, в котором отмечены подмножества, являющиеся множествами вершин симплексов. Поэтому вместо полиэдров можно рассматривать лишь симп-лициальные схемы их триангуляций. Например, по симплициальной схеме можно вычислять группы гомологий и когомологий. Это делается следующим образом:

а) симплекс, вершины которого определённым образом упорядочены, называется упорядоченным симплексом данной триангуляции (или симплициальной схемы) К ; формальные линейные комбинации упорядоченных симплексов данной размерности n с коэффициентами из данной группы G называются n– мepными цепями; все они естественным образом составляют группу, которая обозначается символом C _n(K; G) ;

б) выбросив из упорядоченного n– мерного симплекса s вершину с номером i , 0 lb i lb n, получим упорядоченный (n— 1)-мерный симплекс, который обозначается символом s^{(i )} ; цепь

 называется границей s; по линейности отображение

 распространяется до гомоморфизма

  : C_n (K; G) ® C_{n– 1}(K; G) ;