Чего не знает современная наука

Так и вся жизнь: осматриваешься, выбираешь путь, идешь до следующей развилки, и все повторяется… Если нарисовать это на бумаге, получится очень знакомая и приятная глазу картинка – дерево. Математики называют его «ветвящийся граф». В этом образе отражен весь набор возможных траекторий движения системы.

Как устроен выбор? «Тонкие» модели

Итак, неправ был Спиноза. Есть случайность в природе. Но… Вдруг просто наши модели слишком грубы и лишь поэтому не позволяют предсказать дальнейший путь?

Рассмотрим пример: маятник на жестком подвесе. Слегка отклонив его от состояния равновесия и предоставив самому себе, мы получим «полностью предсказуемое» движение – колебания, описываемые решением начальной задачи для дифференциального уравнения. Оно обладает всеми чертами, свойственными детерминированной системе: существует при любых начальных данных, единственно и устойчиво. Однако если в какой-то момент остановить маятник и направить его подвес вертикально вверх, то формальное решение задачи предсказывает ему вечную неподвижность. В реальности маятник, конечно, упадет, но дальнейшее его движение невозможно предсказать заранее: в математической модели не содержится ничего, что позволяет определить, в какую сторону, вправо или влево, продолжит он свои колебания. Мы встречаемся здесь с «неклассическим» случаем – неустойчивостью решения и непредсказуемостью поведения системы: имеется два варианта ее развития. Мы вынуждены говорить, что дальнейшее движение непредсказуемо и случайно.

Но можно, например, учесть тонкие эффекты взаимодействия маятника с окружающей средой, малые движения точки подвеса и т. п., то есть вместо «грубой» модели использовать более тонкие, взять своего рода «микроскоп» и в него разглядывать точки бифуркации. Может, тогда случайность исчезнет и выбор вновь станет предопределенным?

Полная свобода: хаос

Принципиально новая математика, родившаяся в XX веке, в корне перевернула многие представления о мире, в котором мы живем. Основы ее были заложены почти 100 лет назад французом Анри Пуанкаре, но тогда его идеи развития не получили. А вернулись к ним ближе к середине нашего века. Суть нового подхода заключается в том, что мир, который до сих пор считался развивающимся плавно и постепенно, оказался нелинейной системой, в которой есть и резкие переходы, и неустойчивости, и неоднозначности. А следствием этого является, например, то, что один взмах крыла бабочки «в нужное время в нужном месте» – то есть в момент неустойчивости – способен породить резкие и глобальные изменения климата всей Земли.

Эти открытия произвели эффект разорвавшейся бомбы. Ученые потупили взоры. В 60-х годах сэр Джон Лайтхил, президент Международной ассоциации математических исследований, посчитал своим долгом принести извинения перед просвещенным сообществом за то, что в течение 300 лет математики вводили человечество в заблуждение, так как концепция детерминизма оказалась далеко не безусловной.

Но вернемся к точкам бифуркации. Вооруженные новейшим «микроскопом», мы заглядываем в них… И видим там самый настоящий хаос. Динамический. Дело в том, что, прежде чем выйти на одну из траекторий, видимых «невооруженным глазом» на нашем дереве, система попадает в клубок, состоящий из бесконечного множества запутанных траекторий, и начинает крутиться в нем, как белка в колесе, беспорядочно перескакивая с нитки на нитку. Для того чтобы совершить такой скачок, бывает достаточно сколь угодно малого воздействия извне, ведь в клубке практически в каждой точке соприкасаются сразу несколько нитей, ведущих в самых разных направлениях.

Хаос – не экзотика, в своей жизни мы сталкиваемся с ним очень часто. Десять лет ты учился в школе, и всегда было более или менее известно, что будет завтра, а что – через месяц, через год… А потом жизнь вдруг взрывается: выпускные экзамены, бал – и ты вытолкнут во взрослый мир, живущий по своим суровым законам. Поступать в институт? В какой? Устраиваться на работу? Какую? Голова идет кругом, руки опускаются… Закончил институт, университет – проблемы те же. Переход на новую работу, сокращение штатов, пенсия… Надо строить жизнь заново – а как? Финансовый кризис выбивает из колеи уже не одного человека – вся страна превращается в разворошенный муравейник.

Поневоле задумаешься, нужна ли тебе такая свобода. В хаосе возможно все, здесь существует бесконечное множество вариантов развития, но что толку, если, перебирая вариант за вариантом, перескакивая с траектории на траекторию, ты не можешь вырваться из этого клубка, обреченный вращаться в нем, кажется, до скончания века?

Как же жить в мире хаоса?

«Ну, не все так плохо», – такой вывод можно сделать из анализа математических моделей. Выход все-таки есть. И даже не один – вспомним наше дерево. С точки зрения грубой модели движение по его ветвям означает изменение с течением времени некоторых параметров системы, описывающих ее «в целом», – для маятника это, например, положение центра тяжести. При подробном описании эти параметры являются «внешними», задающими общее состояние системы, они меняются медленно, но именно их изменение обеспечивает выход системы из хаоса. Изменение внешних параметров в математических моделях играет роль Судьбы, влекущей систему сквозь череду кризисов и этапов спокойного развития.

И что же, сидеть и ждать Судьбы? Можно прождать всю жизнь. Но есть и конструктивные соображения. Среди траекторий, переплетающихся в динамическом хаосе, всегда есть несколько жизнеспособных, соответствующих общему направлению эволюции системы, которые ведут к выходу на отрезок стабильного развития. Важно не ждать сложа руки, куда вывезет нас очередная кривая, а найти одну из этих «правильных» траекторий, и рано или поздно она, подобно нити Ариадны, непременно выведет нас из лабиринта. Все, что от нас требуется, это не сидеть на месте, а делать шаги в выбранном направлении. А еще – «спокойствие, только спокойствие!»: не паниковать, не дергаться, не перескакивать с нитки на нитку в поисках сиюминутной выгоды, а крепко держаться за путеводную нить, что бы ни происходило вокруг. Хаос – лишь один из этапов долгого пути эволюции, он не может длиться вечно – пока есть хоть кто-то, кто ищет из него выход.

…Бешеная пляска воды горного потока, клочья облаков, рвущиеся ветром, извивающиеся языки пламени… В их беспорядочном движении, казалось бы, нет никакой закономерности. Но стоит изменить масштаб – и мы увидим поток, стремящийся к морю, гигантские атмосферные вихри циклонов, костер…

Течет река времени. Рождаются и гибнут цивилизации, сменяя друг друга, подвластные законам Истории… Ручейки человеческих жизней, причудливо петляя, сливаются в речки, питающие собой реки побольше… Все они впадают в одну великую реку. Куда несет она свои воды?

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Знает ли Бог математику?

Зачем мы изучаем математику? Чтобы нас не обсчитали в магазине или в банке? Да, наверное. Но для этого достаточно знать основные арифметические действия. А нам почему-то толкуют о геометрических теоремах, свойствах функций…

Можно ответить так: без математики не было бы науки, а значит, многих ее достижений, существенно облегчающих нашу жизнь. Ну и пусть бы тогда этой наукой занимались «яйцеголовые», их не так-то много и нужно. А всем-то зачем?

А оказывается, математика – это тот мостик, который соединяет нас с миром, где живут чистые идеи. Они бесплотны и невидимы, но ощутить их может тот, кто умеет мыслить абстрактно – так, как учит математика. А мир идей прекрасен, и ощутить его красоту помогает знание математических законов гармонии. Это знание позволяет видеть и создавать красоту, видеть присутствие Божественного (читай: природного) закона в окружающем и в нем самом. Видеть, что Бог не бесконечно далек, а рядом, и к нему можно прийти, обращаясь к прекрасному и создавая его. Ведь стремление к красоте может быть тем путем, на котором достигается гармония во взаимоотношениях человека с миром, с другими людьми и с самим собой. Числа правят миром, а значит, и каждым из нас…

Математика, как учат нас в школе, появилась из насущных потребностей людей: надо было как-то считать членов племени, добычу, домашний скот (так появилась арифметика), а потом – измерять участки земли (отсюда пошла геометрия). И кажется, что это естественно – считать мамонтов поштучно или измерять площадь квадратиками. И никакой загадки здесь нет.

Но все-таки без таинственного изучать математику скучно, трудно и противно. А поэтому давайте попробуем удивиться, как ребенок, встречающийся с этой наукой впервые.