Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Теперь покажем, что каким бы длинным ни был список, включая бесконечную длину, существуют числа, которых в нем нет. Чтобы проделать это, построим новое число, выбирая первую цифру после десятичной точки в первом числе списка, вторую во втором числе и так далее и записывая в новом числе на соответствующем месте другуюцифру, замена жирных цифр, например, даст нам новое число 0,134 903…. Этого числа определенно нет в списке, поскольку оно отличается от первого числа, оно отличается от второго числа и так далее. Отсюда следует, что количество действительных чисел (рациональные вместе с иррациональными) больше, чем количество натуральных чисел, потому что, как бы ни был длинен список, мы всегда можем построить число, которого в нем нет. Мы говорим, что действительные числа несчетны.

Давайте посмотрим на это заключение немного более пристально. Мы только что видели, что действительныечисла (натуральные числа плюс рациональные числа и иррациональные числа) являются несчетными. Однако мы видели, что натуральные числа, рациональные числа и алгебраические числа все счетны. Мы можем сделать вывод, что числа, которые делают действительные числа несчетными, все являются трансцендентными(такими, как и e).

Сделаем паузу, чтобы осознать значение этого необычного вывода. Он означает, что огромное большинство чисел — на самом деле, бесконечно преобладающее большинство — являются трансцендентными. Это весьма удивительно, особенно потому, что трансцендентные числа гораздо менее нам знакомы, чем «обычные» числа, и вы даже могли никогда о них раньше не слышать. Тот факт, что трансцендентные числа в преобладающей степени более многочисленны, чем другие виды чисел, явился основанием для моего замечания в начале главы, что удивительным является то, что мы вообще можем считать: натуральные числа крайне редко распределены среди действительных чисел, и каждое из них окружено бесконечностью трансцендентных чисел. Эдвард Темпл Белл выразил это графически, когда написал

Алгебраические числа [включающие натуральные числа] разбросаны по плоскости как звезды по черному небу; плотная чернота является небом трансцендентности.

Кантор обозначил мощность — полное количество — натуральных чисел буквой древнееврейского алфавита N ₀(алеф-ноль), первым из ряда трансфинитных чисел N ₀, N ₁, N ₂, … расположенных в порядке возрастания. Мы можем представлять себе N ₀как наименьшую версию бесконечности, N ₁как следующую, большую версию, и так далее. Вопрос, с которым столкнулся Кантор, заключается в том, является ли мощность действительных чисел, которая, как мы видели, больше, чем мощность натуральных чисел, равной N ₁, или она равна более высокому трансфинитному числу. Знаменитая континуум-гипотезасостоит в том, что мощность действительных чисел — число точек на прямой — равна N ₁первому после N ₀количественному числу, а не N ₅, например, или какому-нибудь другому трансфинитному числу. Как рассказывают, Кантор почти сошел с ума от своих непрерывных, но разочаровывающих попыток доказать континуум-гипотезу. Доживи он до 1963 г., он понял бы причину своего разочарования или, по крайней мере, ему бы ее продемонстрировали, так как в этом году американский логик Пауль Коэн (р. 1934) показал, что эта задача неразрешима: невозможно доказать истинность или ложность континуум-гипотезы, и мощность действительных чисел может быть любой из величин N ₁, N ₂, …, а возможно, и всеми ими.

Мы споткнулись об еще одну подозрительную и нервирующую черту математики: из нее выходит пар, когда она имеет дело с бесконечностью, так же как, возможно, в ее котлах нет пара при столкновении с предположением Гольдбаха (о возможности выразить любое четное число суммой двух простых чисел). И у нас в голове начинает свербить вопрос: а не трещит ли математика по швам от всего этого, не теряет ли она всю мощь своего авторитета, если на нее посильнее нажать? Существуют ли еще и другие вопросы, подобные континуум-гипотезе, в ответ на которые она лишь оглушенно молчит? И так же, как, по утверждению ультрафинитистов, натуральные числа выдыхаются по пути в бесконечность, не выдыхается ли и сама математика в некоторых областях своих доводов, и не имеет ли она слепых пятен в других областях?

Прежде чем перейти к суждению о том, не являются ли белые одежды математики на самом деле поношенными и расползающимися, стоит сделать еще несколько замечаний об умозаключениях Кантора, пусть даже они могут подтолкнуть нас совсем близко к краю безумия. Во-первых, следствием несчетности действительных чисел является то, что количество точек на отрезке линии любой длины невозможно сосчитать. Однако мы можем быть уверены, что, какова бы ни была длина отрезка линии, она состоит из одного и того же числа точек, каково бы ни было это число. Таким образом, число точек на отрезке линии длиной в миллиметр таково же, как и число точек на отрезке линии, простирающемся отсюда до следующей галактики. А как насчет числа точек на плоскости? С помощью изящных аргументов Кантор смог показать, что каждая точка плоской области может быть поставлена во взаимно однозначное соответствие с каждой точкой отрезка линии, безотносительно к площади области и длины отрезка. Поэтому число точек в плоской области любой площади — на почтовой марке или в Австралии — такое же, как и число точек на отрезке линии любой длины — в нанометр или километр, — и оба числа равны числу действительных чисел. То же самое верно для объема любой размерности: в кубе столько же точек, сколько в десятимерном гиперкубе любого размера и в отрезке линии любой длины. Поэтому, как ни удивительно, на сфере размером с Землю столь же много точек, сколь на отрезке линии длиной в 1 см. Возможно, вы начинаете понимать, почему Кронекера так выводили из равновесия перспективы математики, вступающей в ту область, которую Гильберт назвал «раем Кантора» и теперь, если только мы не примем специальных мер, бесконечность становится предательской трясиной, засасывающей разум.

Мы знаем теперь, что их существует много, мы узнаем их, когда встречаем, но что они такое? Что есть числа? У греков был ограниченный взгляд на числа, поэтому, возможно, геометрия давалась им лучше, чем арифметика. Их символические обозначения не работали: у них были прекрасные символические обозначения для элементарной геометрии — прямая линия и круг, нарисованные на плоскости, — но их понятия о цифрах были неуклюжими. Конечно, они не считали 0 и 1 числами, так как содержанием понятия «число» у них была скорее «многочисленность»: чем многочисленнее, тем и число больше. Как отсутствие вещи, так и одна вещь, не обладают многочисленностью, поэтому они не есть числа.

Современное понятие числа появилось, когда в конце девятнадцатого века первоначально Кантор, а затем, во всей полноте строгости, Фреге и Пеано создали теорию множеств. Итальянец Джузеппе Пеано (1858-1932) был доктором Касабоном математики, так как, подобно доктору Касабону, предпринявшему попытку написать историю всех религий мира, Пеано потратил свои зрелые годы, с 1892 по 1908 гг., на составление своего Formulario mathematico, собрания всех известных теорем из всех областей математики. Очаровательно непрактичный Пеано полагал, что Formularioстанет неоценимым благодеянием для лекторов, которым достаточно будет просто провозгласить на лекции номер теоремы, вместо того чтобы обременять себя ее утомительным изложением. Чтобы поощрить международное использование своего труда, Пеано опубликовал его на «Latino sine flexione», изобретенном им якобы интернациональном языке, основанном на латыни и освобожденном от скучной грамматики, но со словарем, в который входили слова из латыни, немецкого, английского и французского языков. Пеано, имевший, по всей видимости, недостаточную способность суждения о принятых в повседневной жизни хороших манерах, хотя в остальном человек мягкий и обходительный, обладал искусством терять друзей с помощью настойчивых упражнений в одном из наиболее впечатляющих своих талантов, способности быть неумолимо логичным. Он использовал свой талант, чтобы подсекать потенциальных друзей, если их аргументы не были вполне строгими; но он воспользовался им и для доброго дела, сформулировав основания математической логики. Даже молодой Бертран Рассел был впечатлен точностью Пеано и мощью сопровождавшей ее аргументации, когда они встретились в 1900 г., и, когда Рассел приступил к своему собственному формулированию оснований математики, он воспользовался видоизмененными обозначениями Пеано.

Пеано, по некоторым непостижимым, но, возможно, обаятельно романтическим причинам, опубликовал свои аксиомы на латыни. Он определил арифметику следующими постулатами:

1. 0 есть число.

2. Элемент, непосредственно следующий за числом, есть также число.

3. 0 не является элементом, непосредственно следующим за каким-либо числом.

4.Никакие два числа не имеют одного и того же следующего за ними элемента.

5.Любое свойство, которым обладают 0 и каждый элемент, непосредственно следующий за числом, есть также свойство, которым обладают все числа.

Последняя аксиома есть принцип математической индукции. Если мы обозначим операцию «непосредственно следующий за» символом s, то получаем возможность определить 1 как s0(элемент, непосредственно следующий за 0), 2 как ss0(элемент, непосредственно следующий за элементом, непосредственно следующим за 0), 3 как sss0и так далее. У этого подхода, однако, существует та проблема, что Пеано оставил без определения некоторых из своих терминов, такие, как «непосредственно следующий за» и, конечно, «число», так что мы все еще не знаем, чем являютсячисла.

Основополагающий вклад в решение этой проблемы внес Фридрих Людвиг Готтлоб Фреге (1848-1925). Этот вклад казался отправным пунктом для того, чтобы математика могла занять подобающее ей высшее место в иерархии человеческой мысли, а на деле оказался причиной ее падения. Фреге считают основателем математической логики, так как ему удалось создать превосходную логическую схему, которая должна была утвердить математику в качестве краткого конспекта сушеной человеческой мысли. Для достижения этого ему было необходимо понятие числа, и, чтобы создать его, он построил в своем труде Grundlagen der Arithmetik(Основания арифметики, 1884) концепцию множества. Множество — это просто собрание различных объектов, например, {Том, Дик, Гарри}. Множества были введены в математику Кантором, а в течение последующих десятилетий теорию множеств усовершенствовали Эрнст Цермело (1871-1953) и Адольф Френкель (1891-1965), которые сформулировали точные утверждения о свойствах множеств, о том, как их строить (то, чего Кантору объяснить не удалось) и как с ними обращаться. Поэтому современная общепринятая теория множеств известна как теория Цермело-Френкеля.

Фреге предложил считать числа названиями множеств определенного вида. Чтобы сделать свое определение точным, он ввел понятие расширениясвойства, как множества, состоящего из всех объектов, этим свойством обладающих. О названии «расширение» лучше всего думать как о слове, произошедшем от словосочетания «расширенный набор». Так, расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» является множество, состоящее из всехмножеств, которые имеют тот же размер. Понятие «иметь такой же размер» в теории множеств вполне определенно: оно означает, что элементы множеств одного размера могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие. Например, множество {Том, Дик, Гарри} имеет такой же размер как {камень, ножницы, бумага}, поскольку Тома можно привести в соответствие с камнем, Дика с ножницами, а Гарри с бумагой (рис. 10.7). Может показаться, что теория множеств чересчур уж тщательно заботится об определениях: но эта забота совершенно необходима, когда речь идет об основаниях математики. Расширением свойства «иметь такой же размер, как множество {Том, Дик, Гарри}» будет, таким образом, множество, состоящее из множеств {Том, Дик, Гарри}, {камень, ножницы, бумага} и так далее. А теперь мы с грохотом плюхаемся на землю: мы называем это расширение, это множество, числом 3.