Для юных математиков. Веселые задачи

Разделим это новое равенство на 3-е:

Сократив дробь и произведя действия, имеем:

ширина x ширину = 100.

И следовательно, ширина ящика = 10 см.

Зная это, легко определить, что высота ящика =

80/10 = 8 см, а длина = 96/8 = 12 см.Решение задачи № 65

Вы не решите этой простой задачи, если не уясните себе сначала, из чего составляется длина цепи. Всмотритесь в чертеж:

Рис. 68.

Вы видите, что длина натянутой цепи составляется из полной ширины первого звена, к которой, с присоединением каждого нового звена, прибавляется не полная ширина звена, а ширина без двойной толщины звена.

Теперь перейдем к нашей задаче.

Мы знаем, что одна цепь длиннее другой на 14 сантиметров и имеет на 6 звеньев больше ее. Разделив 14 на 6, мы получаем 2 1/3. Это и есть ширина одного звена, уменьшенная на двойную его толщину. Так как толщина кольца известна – полсантиметра, – то, следовательно, полная ширина каждого звена = 2 1/3 + 1/2 + 1/2 = 3 1/3 сантиметра.

Теперь легко определить, из скольких звеньев состояла каждая цепь. Из чертежа видно, что если мы отнимем от 36-сантиметровой цепи двойную толщину первого звена, т. е. 1сантиметр, и остальное разделим на 2 1/3, то получим число звеньев в этой цепи:

35 : 2 1/3 = 15.

Точно так же узнаем число звеньев в 22-сантиметровый цепи:

21 : 2 1/3 = 9.Решение задачи № 66

Мельник начал с того, что сложил все 10 чисел. Полученная сумма, 1156 килограммов, – не что иное, как учетверенный вес мешков: ведь в нее вес каждого мешка входит 4 раза. Разделив на 4, узнаем, что все пять мешков вместе весят 289 килограммов.

Теперь для удобства обозначим мешки, в порядке их веса, номерами. Самый легкий мешок – это № 1, второй по тяжести – № 2 и т. д.; самый тяжелый мешок – № 5. Нетрудно сообразить, что в ряде чисел: 110 кг, 112 кг, 113 кг, 114 кг, 115 кг, 116 кг, 117 кг, 118 кг, 120 кг, 121 кг – первое число составилось из веса двух самых легких мешков: № 1 и № 2; второе число – из веса № 1 и № 3. Последнее число составилось на веса двух самых тяжелых мешков № 4 и № 5, а предпоследние – из № 3 и № 5. Итак:

№ 1 и № 2 вместе весят 110 кг

№ 1 и № 3 вместе весят 112 кг

№ 3 и № 5 вместе весят 120 кг

№ 4 и № 5 вместе весят 121 кг

Легко узнать, следовательно, сумму весов № 1, № 2, № 4 и № 5: она равна 110 кг + 121 кг = 231 кг. Вычтя это число из общей суммы веса всех мешков (289 кг), получаем вес мешка № 3, именно – 58 килограммов.

Дальше, из суммы веса мешков № 1 и № 3, т. е. из 112, вычитаем известный уже нам вес мешка № 3; получается вес мешка № 1: 112 кг – 58 кг = 54 кг.

Точно так же узнаем вес мешка № 2, вычтя 54 кг из 110 кг, т. е. из суммы веса мешков № 1 к № 2. Получаем: вес мешка № 2 равен 110 кг – 54 кг = 56 кг.

Из суммы весов мешков № 3 и № 5, т. е. из 120 вычитаем вес мешка № 3, который равен 58 кг; узнаем, что мешок № 5 весит 120 кг – 58 кг = 62 кг.

Остается определить вес мешка № 4 из суммы № 4 и № 5, т. е. из 121 кг. Вычтя 62 из 121, узнаем, что мешок № 4 весит 59 кг.

Итак, вот вес мешков:

54 кг, 56 кг, 58 кг, 59 кг, 62 кг.Решение задачи № 67

Мы знаем, что Володя вдвое старше Жени, а Надя и Женя вместе вдвое старше Володи. Значит, годы Нади и Жени вместе вчетверо больше, чем годы Жени. Отсюда прямо следует, что

Надя старше Жени в 3 раза.

Далее, мы знаем, что сумма лет Алеши и Володи вдвое больше суммы лет Нади и Жени. Но возраст Володи есть удвоенный возраст Жени, а годы Нади и Жени вместе есть учетверенный возраст Жени. Следовательно, годы Алеши + удвоенный возраст Жени = 8-кратному возрасту Жени. То есть:

Алеша старше Жени в 6 раз.

Наконец, нам известно, что сумма возрастов Лиды, Нади и Жени равна сумме возрастов Володи и Алеши.

Имея перед глазами табличку:

Лиде – 21 год.

Надя – в 3 раза старше Жени,

Володя – в 2 раза старше Жени,

Алеша – в 6раз старше Жени, мы можем сказать, что 21 год + утроенный возраст Жени + возраст Жени = 4-кратному возрасту Жени + 12-кратному возрасту Жени.

Или: 21 год + 4-кратный возраст Жени = 16-кратному возрасту Жени.

Значит, 21 год = 12-кратному возрасту Жени и, следовательно, Жене 21/12 = 1 3/4 года.

Теперь уже легко определить, что Володе 3 1/2 года, Наде – 5 1/4 и Алеше – 10 1/2 лет.Решение задачи № 68

Для ясности нарисуем рядом две свечи – толстую, ко – торая может сгореть в 5 часов, и тонкую, которая может сгореть в 4 часа. Заштрихуем те части обеих свечей, которые сгорали, огарки же оставим незаштрихованными. Легко сообразить, что длина сгоревшей части тонкой свечи должна составлять 5/4 длины сгоревшей части толстой свечи; другими словами, заштрихованный избыток тонкой свечи составляет по длине 1/4 сгоревшей части толстой свечи. Но в то же время длина этого избытка = 3/4 длины толстого огарка. Другими словами, мы узнали, что 3/4 длины толстого огарка равна 1/4 длины сгоревшей части толстой свечи. Значит, 4/4 его (т. е. весь огарок) составляет 1/4 x 4/3 = 1/3 толстой свечи.

Итак, огарок толстой свечи составляет 1/3 сгоревшей части или 1/4 всей длины свечи. Сгорело, следовательно, 3/4 толстой свечи. А так как вся свеча могла сгореть в 5 часов, то 3/4 ее горело в продолжение (5x3)/4 = 15/4 = 3 3/4 часа.

Ответ: свечи горели 3 3/4 часа.Решение задачи № 69

Каждый ученик или ученица ежедневно раскланивались со всеми остальными школьниками и с заведующим. С самим собою, конечно, не раскланивались, зато делали поклон заведующему, так что каждый школьник и школьница делали ежедневно столько поклонов, сколько было детей в школе. Значит, все дети вместе делали ежедневно столько поклонов, сколько составится от умножения их общего числа самого на себя.

Итак, мы знаем, что 900 – это число детей, умноженное само на себя. Какое же число, умноженное на себя, составит 900? Очевидно, 30. А так как девочек было вдвое больше, чем мальчиков, то из 30 детей было 20 девочек и 10мальчиков.

Проверим это. Девочки делают подругам 19x20 = 380 поклонов и мальчикам 20x10 = 200 поклонов. Мальчики мальчикам 9x10 = 90, девочкам 10x20 = 200. Итого 380+200+90+200 = 870 поклонов. Присоединив еще 30 поклонов заведующему, имеем ровно 900.Решение задачи № 70

Задачу надо решать с конца. Самый младший сын получил столько брильянтов, сколько было сыновей, и еще 1/7 остальных; но так как остатка никакого не было, то младший сын получил столько брильянтов, сколько было всех сыновей. Далее: предыдущий сын получил брильянтов на один меньше, чем было сыновей, да еще 1/7 остальных брильянтов. Значит, то, что получил самый младший, есть 6 седьмых долей этого «остального» (а все «остальное» есть 7 седьмых).

Отсюда вытекает, что число брильянтов самого младшего сына должно делиться на 6 без остатка. Попробуем допустить, что их было 6, и испытаем, подходит ли это число.

Если младший сын получил 6 брильянтов, то, значит, он был шестой сын, и всех сыновей было 6. Пятый сын получил 5 брильянтов + 1/7 от 7, т. е. 5+1 = 6. Далее: 12 камней есть 6/7 оставшегося после четвертого сына; полный остаток – 14 камней, и четвертый сын получил 4+1/7 от 14 = 6.

Вычисляем остаток после третьего сына: 18 есть 6/7 этого остатка: значит, полный остаток – 21. На долю третьего сына досталось 3+1/7 от 21 = 6.

Точно так же узнаем, что на долю второго и первого сына досталось тоже по 6 камней.

Итак, у раджи было 36 брильянтов и 6 сыновей.Мы испытали число 6 и нашли, что оно удовлетворяет условиям задачи. Испытав 12, 18 и 24, убедимся, что эти числа не годятся, а больше двух дюжин детей у раджи едва ли могло быть.

Глава VIII Десять задач о земле и небе

ЗАДАЧА № 71

Всюду юг!

Существует шуточный рассказ [4] об одном турке, который будто бы попал однажды в «самую восточную страну». Турок так описывает эту сказочную страну:

«И впереди восток и с боков восток. А запад? Вы, может быть, думаете, что он все-таки виден, как точка какая-нибудь, едва движущаяся вдали?.. Неправда! И сзади восток! Короче – везде и всюду нескончаемый восток!»

Такой страны, которая со всех сторон окружена востоком, конечно, быть не может. Но зато существует такое место на земном шаре, которое отовсюду окружено югом: во все стороны от этого места простирается «один нескончаемый юг».

Это кажется с первого взгляда невозможным, – а между тем стоит лишь немного подумать, чтобы понять, что такое необычайное место на земном шаре существует.

В этом удивительном месте развевается теперь английский флаг, и я уверен, что вы даже знаете имя человека, который водрузил его.

Где же находится это место?

Чтобы помочь вам догадаться, я прибавлю, что в этом месте вовсе не жарко, даже не тепло, хотя во все стороны оно прямо примыкает к югу.

ЗАДАЧА № 72

По телефону

Между Нью-Йорком и Сан-Франциско в Америке устроено телефонное сообщение, так что жители Нью-Йорка, на берегу Атлантического океана, могут переговариваться по телефону с жителями Сан-Франциско, на берегу Тихого океана.

Конторы в Сев. Америке открыты с 10 часов утра до 4-х часов дня. В течение скольких же часов ежедневно конторские служащие в Нью-Йорке и Сан-Франциско могут вести между собою деловые разговоры по телефону?

ЗАДАЧА № 73

Где начинаются дни недели?

В воскресенье гости засиделись за полночь. «Пора уходить, – объявил один, – завтра понедельник, и надо быть рано на службе».

– Завтра вторник, – с улыбкой поправил его хозяин.

– Что вы? Разве сегодня не воскресенье?

– Нет, уже понедельник: ведь сейчас пробило двенадцать часов!

– А, вот вы о чем! Ну, разумеется, раз полночь наступила, значит, теперь уже понедельник.

– Не везде, – вмешался другой гость, моряк. – Здесь у нас, в Москве – понедельник, но в Ленинграде еще воскресенье: там сейчас половина двенадцатого.

– Правильно, – согласился хозяин, – теперь понедельник только на восток от нас: в Нижнем, в Перми, в Красноярске…

– В Красноярске понедельник начался четыре часа назад, – пояснил моряк. – А в Петропавловске понедельник наступил уже восемь часов назад. Кстати, как вы думаете: где понедельник всего раньше наступил?

– В самом деле! – воскликнул хозяин. – А вот еще интересный вопрос: чем дальше на восток, тем понедельник наступает раньше. А между тем на запад от нас простирается еще воскресенье. Значит, должна же где-нибудь проходить граница между воскресеньем и понедельником: ведь земля кругла. Где же эта граница?

– Там, где начинаются дни недели, – ответил моряк.

– Я не знаю, как решается эта задача, – заметила одна гостья, – но мне вспоминается интересный рассказ Эдгара По о «трех воскресеньях на одной неделе». Два моряка вернулись из кругосветного плаванья и сошлись вместе. Один объехал земной шар с запада на восток, другой – с востока на запад; оба встретились в одном пункте в один и тот же день. Но каждый из двух путешественников называл этот день иначе. Тот, который объехал землю с запада на восток, совершил лишний оборот вокруг земной оси; он лишний раз видел восход солнца, и потому в его счете дней оказалось одним больше, чем следует. Он убежден, что воскресенье было вчера, между тем как оно наступило только сегодня. Другой моряк, прибывший с востока и, следовательно, все время двигавшийся против вращения земли, сделал вокруг земной оси одним оборотом меньше, чем успела за то же время сделать земля; он видел восход солнца одним разом меньше, и в его счете дней одного не хватает: поэтому он убежден, что воскресенье будет только завтра, хотя оно наступило уже сегодня. Вот и получилось на одной неделе три воскресенья: вчера, сегодня и завтра…

– Это возможно только в фантастическом рассказе, – ответил гостье моряк. – У Жюля Верна, в романе «Вокруг света за 80 дней», герой тоже сбился в счете дней и не подозревал, что приехал на целые сутки раньше. Впрочем, в старину подобные ошибки были возможны. Со спутниками Магеллана произошел именно такой случай: объехав кругом света, они привезли с собою в Португалию четверг вместо пятницы. Но в наши дни ничего подобного не может случиться.

– Почему же? – раздались голоса.

– Вам станет ясно это, если вы ответите сначала на вопрос: где начинается понедельник?

И в самом деле, читатель: где на земном шаре впервые начинаются дни недели? Где раньше всего происходит смена одного дня другим?

ЗАДАЧА № 74

Наперегонки с землей

Может ли человек состязаться с земным шаром в его суточном движении вокруг оси? Может ли человек «перегнать землю» [5] если не пешком, то, например, на быстро мчащемся автомобиле?

Заодно ответьте и на такие вопросы:

Может ли человек на земле увидать солнце восходящим с запада? И прав ли был Кольцов, когда восклицал:

Но, увы, не взойдет

Солнце с запада!

ЗАДАЧА № 75

Закат солнца

Посмотрите на изображенную здесь картинку – закат солнца – и скажите: правильно ли она нарисована?

Рис. 69.

В этом рисунке есть одна несообразность, которую вам и нужно открыть. ЗАДАЧА № 76 Турецкий флаг

Вам, конечно, знаком турецкий флаг. На нем изображен серп молодого месяца, а между рогами лунного серпа – звезда. Замечаете ли вы, что в изображении турецкого флага есть крупная несообразность? В чем она состоит?

Рис. 70.