Для юных математиков. Веселые задачи

ЗАДАЧА № 77 Задача не шутка

Где на земле легче всего живется?

Вопрос похож на загадку или на задачу-шутку вроде вопросов: «Почему птица летает?» (По чему? – По воздуху). Но наш вопрос не совсем такого рода. Если хорошенько подумать, то на него можно дать разумный, вполне обоснованный ответ.

Какой?ЗАДАЧА № 78 Закат луны

Вы видите тропический ландшафт со странным изображением лунного серпа у горизонта. Правильно ли нарисована эта картинка? Нет ли здесь какой-нибудь несообразности?

Рис. 71. Правильно ли нарисована здесь луна?

ЗАДАЧА № 79 Броненосец

Броненосец водоизмещением в 20000 тонн…

Но вы, быть может, не знаете, что такое «водоизмещение» и что такое «тонна»? Водоизмещением называют вес той воды, которую судно вытесняет, когда плавает. А так как плавающее тело, по закону плавания, вытесняет ровно столько воды, сколько оно весит, то «водоизмещение» прямо указывает вес самого судна. А что такое «тонна»? Это мера веса, 1000 килограммов. Когда вы читаете, что судно имеет «водоизмещение в 20000 тонн», то это значит, что оно само (а также вода, вытесняемая им при плавании) весит 20000 тонн.

Итак, броненосец водоизмещением в 20000 тонн, стоявший раньше в Архангельске, прибыл в экваториальные воды. Известно, что с приближением к экватору все тела становятся легче; разница в весе на широте Архангельска и на экваторе равна 1/250, т. е. гиря в 1 киллограмм из Архангельска, перенесенная на экватор, будет весить меньше на 4 грамма.

Можете ли вы сказать, сколько тонн воды будет вытеснять наш броненосец в экваториальных водах?ЗАДАЧА № 80 Пароход и пловец на луне

На луне все вещи весят в 6 раз меньше, чем на земле, так как луна в 6 раз слабее притягивает к себе тела, чем наш земной шар. Килограмм, перенесенный на луну, весил бы там всего 160 граммов.

Вообразите, что на луне существует озеро и в нем пресная вода. На это озеро спущен пароход, который в земных пресноводных озерах сидит в воде на 3 метра. Как глубоко будет сидеть наш пароход в воде этого лунного озера?

Заодно решите еще задачу: где не умеющий плавать человек скорее может утонуть – в земном озере или в нашем воображаемом лунном?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ №№ 71-80Решение задачи № 71

Место на земле, откуда во все стороны горизонта простирается юг – это… северный полюс! И действительно: ведь северный полюс есть самая северная точка земного шара, и все точки кругом него лежат уже южнее. Когда отважный полярный путешественник Пири в 1912 году водружал в этом пункте английский флаг, он со всех сторон был окружен югом: «везде и всюду нескончаемый юг».Решение задачи № 72

Ответ: не 6часов, а гораздо меньше, и вот почему. Между Нью-Йорком и Сан-Франциско разница во времени 3 1/4часа. Когда нью-йоркские банки открываются, – т. е. в 10 часов утра, – тогда в Сан-Франциско еще спят: там без четверти 7 час. утра. И только в четверть второго кон – торский служащий Нью-Йорка может позвать к телефону своего товарища в Сан-Франциско, где сейчас только открылись двери контор. В 4 часа нью-йоркские служащие уже покидают конторы, и жители Сан-Франциско не могут вызвать их по телефону, хотя в этом городе всего только без четверти час. Таким образом, конторы этих двух городов могут разговаривать между собою ежедневно по 2 3/4 часа, хотя открыты в течение 6часов.

А если бы существовал телефон между Ленинградом и Петропавловском, то почти совсем невозможно было бы им пользоваться! Между этими городами разница во времени – 10часов, так что, когда ленинградцы бодрствуют, петропавловцы спят, и наоборот. Приходилось бы вставать по ночам, чтобы разговаривать по этому междугородному телефону.Решение задачи № 73

В Москве пробило двенадцать – только что наступил понедельник; на запад от Москвы всюду простирается еще воскресенье, а на восток – понедельник. Но на шарообразной земле восток и запад неизбежно должны встретиться; значит – где-то должна существовать граница, отделяющая воскресенье от понедельника.

Эта граница существует в самом деле и называется «линией даты»; она проходит через Берингов пролив и тянется по водам Тихого океана в виде изломанной линии, точное направление которой определено морскими законами.

На этой-то воображаемой линии, прорезающей безлюдные пустыни Тихого океана, и совершается впервые на земном шаре смена дней недели, месяцев, лет. Здесь как бы помещаются входные двери нашего календаря: отсюда приходят на землю воскресенья и понедельники, январи и феврали; здесь же находится колыбель Нового года. Раньше, чем где бы то ни было на земном шаре, здесь наступает каждый новый день недели; родившись, он бежит на запад, обегает весь земной шар и снова возвращается к месту своего рождения – на этот раз, чтобы соскользнуть с поверхности нашей планеты и исчезнуть в вечности.

Из стран всего мира СССР раньше всех принимает на свою территорию каждый новый день: на мысе Дежнева каждое «воскресенье», только-что родившееся в водах Берингова пролива, вступает в населенный мир, чтобы начать свое шествие через все части света. И здесь же, у восточной оконечности русской Азии, дни умирают, исполнив свою 24-часовую службу.

Некогда Карл V хвастал тем, что в его владениях не заходит солнце. Мы с большим правом могли бы гордиться тем, что владеем колыбелью нарождающихся дней; в пределах СССР совершается первая на всей твердой земле смена одного дня недели другим.

Итак, вот где происходит смена дней недели. Что же делают мореплаватели, когда проезжают эту «линию даты»? Чтобы не сбиваться в счете дней, подобно спутникам Магеллана, моряки должны пропускать один день недели, если едут с востока на запад; когда же пересекают линию даты с запада на восток, то дважды считают один и тот же день недели, – т. е. после воскресенья опять празднуют воскресенье. Вот почему невозможны в действительности истории, рассказанные Эдгаром По в «Трех воскресеньях на одной неделе» и Жюлем Верном в романе «Вокруг света за 80 дней».Решение задачи № 74

Перегнать землю в ее суточном вращении вокруг оси вполне возможно на современном гоночном автомобиле, пробегающем свыше 200 километров в час (55 м в секунду) или, еще лучше, на аэроплане, могущем лететь со скоростью 300 и более км в час. Конечно, этого нельзя сделать на экваторе, точки которого движутся со скоростью 460 метров секунду; невозможно это даже и на широте Ленинграда (60°), где движение точек земной поверхности совершается со скоростью 230 метров в секунду. Но это вполне возможно уже на 83 широте и более. Здесь автомобилист, мчащийся в своем моторе с востока на запад, будет видеть солнце неподвижно висящим на небе, не приближаясь к закату [6] .

Земля, конечно, продолжает вращаться, но автомобилист будет отъезжать на столько же в обратную сторону и, следовательно, по отношению к солнцу будет оставаться неподвижным.

При еще большей скорости автомобилист мог бы перегнать землю и увидеть новое чудо: солнце, восходящее не с востока, а с запада! Земля под колесами автомобиля будет вращаться по-прежнему с запада на восток, но сам автомобиль будет обращаться вокруг земной оси с востока на запад.Решение задачи № 75

Несообразность рисунка состоит в том, что лунный серп обращен своею выпуклою стороною не к солнцу, а от солнца. Ведь луна освещается солнцем, значит, она никак не может быть обращена к нему своею неосвещенною стороною…

«Большинство живописцев, – замечает по этому поводу известный французский астроном Фламмарион, – не знают еще этого, потому что не проходит года, чтобы в Парижском Салоне (зал для выставок) не появлялось большого числа лун в обратном положении».Решение задачи № 76

Явная несообразность турецкого флага заключается в том, что звезда на изображении слишком близко придвинута к лунному серпу. В таком положении луна и звезда на небе быть не могут. Луна не прозрачна, сквозь нее нельзя видеть звезды; значит, никакая звезда не может сиять внутри круга луны.

На рис. 72-м показано, как должны быть расположены лунный серп и звезда, чтобы картина была согласна с действительностью. Надо отодвинуть звезду от наружного края серпа больше, чем на целый поперечник луны. А между тем на турецком флаге звезда сияет как раз между рогами месяца!

Рис. 72.

Решение задач и № 77

Из всех мест земного шара легче всего живется, конечно, на экваторе, – по той простой причине, что там все предметы становятся легче.

Паровоз, весящий в Москве 60 тонн, становится по прибытии в Архангельск на 60 килограммов тяжелее, а в Одессе – на столько же легче.

Кто же похищает у паровоза эти 60 килограммов? Главным образом похищает их «центробежная сила»; она уменьшает вес всякого тела близ экватора на 1/250 долю по сравнению с весом того же тела у полюсов. A так как земной шар у экватора немного вздут, т. е. поверхность земли там немного дальше от центра планеты, то это еще немного уменьшает вес предметов близ экватора. В общей сложности, потеря веса на экваторе достигает 1/250 доли по сравнению с весом того же тела на полюсе.

На этом основании какой-то затейник объявил однажды, что знает способ вполне законно и честно обвешивать покупателей. Секрет состоит в том, чтобы покупать товары в экваториальных странах, а продавать их поближе к полюсам. Килограмм, будучи перенесен с экватора на полюс, прибавится в весе на целых 5 граммов, – если только пользоваться для взвешивания не весами с коромыслом, а пружинными (и притом непременно своего, «южнаго» изготовления); иначе, конечно, никакой выгоды не получится: на весах с гирями товар станет тяжелее, – но настолько же тяжелее сделаются и гири.

Едва ли можно разбогатеть на такой торговле, – но по существу шутник прав, так как тяжесть действительно увеличивается с удалением от экватора, где «всего легче живется на свете».Решение задачи № 78

Как ни странно, но лунный серп изображен на рисунке совершенно верно. Это тропический ландшафт, а под тропиками положение лунного серпа отличается от положения его в наших широтах. У нас молодой месяц обращен горбушкой вправо, а серп убывающей луны – влево. В тропических же странах лунный серп висит на небе горизонтально.

Происходит это вот почему. В наших странах солнце и луна (вообще – все светила) при своем суточном движении но небу идут по наклонным кругам; поэтому вечером солнце, освещающее луну, находится под горизонтом в косом направлении: оно освещает луну справа или слева, и серп обращен влево или вправо. На экваторе же светила движутся по отвесным дугам; солнце, освещающее луну, расположено под горизонтом не направо или налево от нее, а внизуее. Луна освещается снизу, и вот почему лунный серп имеет там форму гондолы, как изображено на нашем рисунке.

Кто живет у нас на юге – в Крыму, на Кавказе, в Туркестане, – тот заметил, вероятно, что серп там нередко имеет на небе положение, сходное с изображенным на нашем рисунке. Чем ближе к тропикам, тем более отвесно движутся светила по небу.Решение задачи № 79

Перейдя из Белого моря в экваториальные воды, броненосец сделается на 1/250 легче. Но ровно на столько же делается легче и вода: она тоже весит близ экватора на 1/250 меньше, чем в Белом море. Значит, водоизмещение броненосца во все время плавания остается одно и то же: 20000 тонн.Решение задачи № 80

Пароход сделался бы на луне в 6 раз легче, – но это вовсе не значит, что он будет гораздо мельче сидеть в лунном озере. Ведь и вода должна была бы на Луне весить в шесть раз меньше, чем на земле. Плавающее тело вытесняет столько воды, сколько оно весит (закон Архимеда); следовательно, ничто не должно измениться в степени погружения парохода: он будет сидеть в воде на те же 3 метра.Точно так же ничто не изменится и для пловца: его вес уменьшится во столько же раз, во сколько раз уменьшится вес вытесняемой им воды. Следовательно, плавучесть человека будет в лунном озере та же, что и в земном. Утонуть и там и здесь одинаково легко.

Глава IX Фокусы и игры

ЗАДАЧА № 81

Отгадчик

Мальчик с завязанными глазами безошибочно угадывает, в какой руке у вас гривенник. Делает он это так.

– Возьмите, – говорит он вам, – в одну руку гривенник, а в другую монету в 3 копейки.

Когда вы это сделали, он продолжает:

– Удвойте мысленно то, что у вас в правой руке, и утройте то, что в левой.

Вы исполняете его просьбу; тогда он просит вас сложить оба числа и спрашивает, получилось ли четное или же нечетное число.

– Четное, – отвечаете вы, например.

– Гривенник в левой руке, – тотчас же объявляет он, и всегда угадывает безошибочно.

Почему?

ЗАДАЧА № 82

Арифметический фокус

Хозяин просит одного из своих гостей написать на листке бумаги любое число из трех цифр.

– Но не показывайте мне, а прямо передайте листок своему соседу. Вы же, – обращается хозяин к этому соседу, – припишите к числу справа опять то же число. У вас получится длинное число из 6 цифр. Сделали? Передайте листок дальше.

– Что мне делать с этим шестизначным числом? – спрашивает гость, получивший записку.

– Разделите его на 13.

– А если не разделится?

– Разделится.

– Но ведь вы даже не знаете, какое у меня число! – возражает гость. – На 13 делится без остатка не всякое число.

– А это разделится, увидите.

Гость недоверчиво приступает к делению; действительно – число разделилось на 13 без остатка.

– Не говорите мне, сколько получилось, а передайте листок дальше, своему соседу, – говорит хозяин. – Вас я попрошу полученное число разделить на 11.

– А что делать с остатком?

– Остатка не будет, – заявляет хозяин. И в самом деле: остатка не получается.

– То число, которое у вас получилось от деления, передайте дальше и попросите соседа разделить его на 7, – продолжает распоряжаться хозяин.

– Неужели опять разделится без остатка? – недоумевает сосед.

– Именно так, – отвечает хозяин. – Разделили? Будьте добры теперь написать результат на отдельной бумажке и передайте эту бумажку мне.

Затем, не заглядывая в бумажку, хозяин передает ее тому гостю, который задумал число.

– Вот число, которое вы написали. Правильно?

– Верно! – изумляется гость. – Но откуда ж вы знаете? Ведь вы не видели ни моего числа, ни того, которое получилось?

И в самом деле, откуда он мог знать?

ЗАДАЧА № 83

Карточный фокус

Трудно самому угадать задуманную карту и еще труднее, казалось бы, заставить другого угадывать. Но существует способ превратить любого человека в безошибочного отгадчика задуманной вами карты.

Из колоды игральных карт вы берете одну карту, – допустим, валета пик, – кладете на стол, никому не показывая, и уверяете собеседника, что он может отгадать эту карту.

Он, конечно, заявляет, что не обладает подобным даром, – но вы настаиваете на своем. Между вами и им происходит такой разговор (напоминаю, что карта, лежащая на столе, – валет пик).

Вы начинаете:

– Есть четыре масти. Назовите из них две, какие угодно.

– Бубны и пики, – отвечает собеседник наобум.

– Из этих двух укажите одну.

– Пусть бубны, – с улыбкой продолжает отгадчик.

– Значит, остаются только пики. Далее: в колоде имеются туз, король, дама, валет, десятка и девятка. Выберите из этих шести карт три.

– Король, дама и девятка, – опять наобум отвечает собеседник.

– Остаются, следовательно, туз, валет и десятка. Выберите из них две карты.

– Туз и валет.

– А теперь укажите их них одну.

– Ну, туз.

– Остается, значит, только валет. Вот он!

И вы торжествующе переворачиваете карту: масть и название угаданы!

Ваш собеседник в недоумении: каким образом он все же сумел угадать карту… В чем секрет?

ЗАДАЧА № 84

Что получится?

Вырежьте из газеты ленту в 5 сантиметров шириною и в 80-100 сантим. длиною. Концы этой ленты склейте в кольцо, – но не просто, а предварительно закрутив ленту по длине два раза.

Рис. 73.

Вот как это надо сделать. На рисунке 73-м углы ленты обозначены цифрами; переверните один конец ленты так, чтобы сначала угол 3-й оказался не вверху, против угла 1-го, а внизу, против угла 2-го, и затем заверните тот же конец в ту же сторону еще раз, чтобы узел 3-й пришелся снова вверху против угла 1-го. В результате лента окажется дважды закрученной по длине. Теперь склейте концы ленты (рис. 74), – и у вас все готово для фокуса. Вы показываете эту заранее приготовленную ленту своим гостям и спрашиваете их:

– Что получится, если ленту разрезать вдоль посредине?

Рис. 74