Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции

Завоевав плацдарм в области математики, новая логика стала проникать в естественные науки и философию. При этом роль собственно математического элемента (использование математических моделей) упала. Тем не менее всю современную логику часто называют «математической» по причине ее языка и происхождения.

6.6. Объекты и высказывания

Прежде чем продвигаться дальше в анализе языка и мышления, нам надо дать краткий набросок современной логики. Для наших целей достаточно рассмотреть только язык современной логики и те понятия, которые связаны с языком. Понятия, связанные с логическим выводом (доказательством), мы пока оставим в стороне.

Современная логика делит все сущее на объекты (или предметы) и высказывания (или утверждения). В естественном языке высказывания изображаются предложениями или наборами предложений, а объекты — словами и словосочетаниями, входящими в состав предложения. Примеры объектов: «цапля», «дядя Коля», «председатель колхоза». Примеры высказываний: «цапля сдохла», «дядю Колю выбрали председателем колхоза». Чаще всего объекты выражаются существительными, но это не обязательно. Например, «курить» — объект в высказывании «курить вредно». В приложении к математике объекты обычно называются термами, а высказывания соотношениями.

Примеры термов:

3.14.ax² + bx + c._a^bf(z)dz.

Примеры соотношений:

aх² + bx + c = 0.0 < z < 1.Каково бы ни было натуральное число n > 1, найдется простое число р, которое является делителем числа n.Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Понятия «объект» и «высказывание» считаются в логике первичными, интуитивно ясными и неопределяемыми. Формальное различие между ними состоит в том, что о высказывании имеет смысл говорить, что оно является истинным или ложным. Так, третий и четвертый примеры математических соотношений представляют собой истинные высказывания, а первое и второе соотношения могут быть истинными или ложными в зависимости от значения переменных х и z. К объектам понятия истинности и ложности неприменимы.

Объекты и высказывания, которые считаются элементарными, т. е. не расчлененными на отдельные составные части, обозначаются в логике буквами. Объекты обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а высказывания — большими. Мы будем придерживаться этой символики, но дополнительно введем еще одно соглашение. Для ясности записи и уменьшения словесных пояснений будем иногда обозначать элементарные объекты и высказывания словами и словосочетаниями, взятыми в кавычки. Следовательно, словосочетания в кавычках будут рассматриваться на равных правах с буквами.

Объекты и высказывания, которые не являются элементарными, конструируются, очевидно, из других объектов и высказываний. Мы должны указать теперь способ конструирования.

При наличии двух типов элементов (объекты и высказывания) и предполагая, что элементы, служащие строительным материалом, принадлежат все к одному типу, мы получаем четыре возможных типа конструкций, которые мы сведем в следующую таблицу.

Что конструируется	Из чего конструируется	Название конструкции
Высказывание	Высказывания	Логическая связка
Высказывание	Объекты	Предикат
Объект	Высказывания	—
Объект	Объекты	Функция

6.7. Логические связки

Широко употребительных логических связок пять. Это отрицание (изображается знаком ¬), конъюнкция (знак ), дизъюнкция (знак ), импликация (знак ) и эквивалентность (знак ).

Высказывание ¬A (читается «не A») означает, что высказывание A ложно. Иначе говоря, ¬A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.

Высказывание A B (читается «A и B») означает утверждение, что верно и A, и B. Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B.

Высказывание A B («A или B») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B.

Высказывание A B читается «A влечет B» или «если A, то B». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.

Наконец, высказывание A B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание ¬A B означает «A неверно, а B верно», а высказывание ¬(A B) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A B C понимается как A (B C), но не как (A B) C. Это соответствует тому, что в алгебре a + b x c означает a + (b x c), но не (a + b) x c.

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» «цапля сохла» «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» «Z < 1», a соотношение |Z| > 1 — дизъюнкция «Z > 1» «Z < -1». Определение логической связки данное выше, можно записать так: