Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции
Шрифт:
[(A B) (A B) (¬A ¬B)] [(A B) (¬A ¬B) (A B)]
Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:
«Свет включен» «Лампочка не горит» «Нет электричества» «Перегорели пробки» «Перегорела лампочка».
Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего
Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.
6.8. Предикаты
Конструкция, сопоставляющая нескольким объектам высказывание, называется предикатом. Предикаты делятся на одноместные, двухместные, трехместные и т.д. в соответствии с числом объектов, которого они требуют. Для записи их используют функциональные обозначения. Предикат можно записать в виде функции с незаполненными местами для аргументов, например
P, L( , ), I( , , )
или же в виде
P(x), L(z, y), I(x, y, z)
оговорив, что x, y, z — предметные переменные, т. е. символы, которые в конечном счете должны быть заменены на объекты, но какие — пока неизвестно. Впрочем, вторая форма изображает, строго говоря, уже не предикат, а высказывание, содержащее предметные переменные. Вместо больших букв мы будем также использовать словосочетания в кавычках, например,
«красный»(x), «между»(x,у, z)
и специальные математические знаки, например,
<(х, у).
Одноместный предикат выражает свойство объекта, предикат более чем с одним аргументом — отношение между объектами. Если места для аргументов в предикате заполнены, то мы имеем дело с высказыванием, утверждающим наличие данного свойства или отношения. Высказывание
«красный»(«мяч»)
означает, что «мяч» обладает свойством «красный». Конструкция
<(a, b)
равнозначна соотношению (неравенству) a < b.
Соединяя предикатные конструкции логическими связками, мы получаем более сложные высказывания. Например, соотношение |z| > 1, которое мы раньше записывали, не расчленяя высказываний на элементы, мы запишем теперь в виде
>(z, 1) <(z, -1).
6.9. Кванторы
В математике большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства
и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванторы: квантор всеобщности и квантор существования . Допустим, что некоторое высказывание S содержит переменную (неопределенный объект) х, поэтому будем записывать его в виде S(x). Тогда высказывание(x)S(x)
означает, что для всех х имеет место S(x), а высказывание
(x)S(x)
состоит в утверждении, что существует хотя бы один объект х такой, что для него верно высказывание S(x).
Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма
i=n mSi
не зависит от индекса i. Связанную переменную можно заменить любой другой буквой, не совпадаюшей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной. Высказывание зависит только от свободных переменных, которые оно содержит.
Примеры высказываний с кванторами:
(х)(у)(«брат»(х, у) «мужчина»(у)) «брат»(у, x).
Для всякого х и всякого у, если х — брат у и у — мужчина, то у — брат x.Если через D(x, y) обозначить высказывание «x является делителем у», то одно из соотношений, приведенных выше в качестве примера высказываний, изобразится в виде
(n)(>(n, «1») (p)D(p, n)).(x)W(x) ¬(x) ¬W(x).
Это соотношение верно для любого высказывания W(x) и показывает, что имеет место связь между кванторами существования и всеобщности. Из существования объекта х, для которого верно W(x), следует, что неверно утверждение, будто для всех х W(x) неверно.