Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

Эти амплитуды, конечно, должны совпасть с полученными в (4.23). Значит, b_Aдолжно быть связано с a и b формулой

b_A=b-a. (4.26) Это означает, что если угол a между осью А и осью у (прибоpa S) равен b то в преобразовании поворота на 180° вокруг оси А будет стоять b_A=0.

Но коль скоро у какой-то из осей, перпендикулярных к оси z, может оказаться b=0, то ничто не мешает принять эту ось за ось у. Это всего лишь вопрос соглашения, и мы примем это в общем случае. Итог: для поворота на 180° вокруг оси у мы имеем

Продолжая размышлять о поворотах вокруг оси у, перей­дем теперь к матрице преобразования для поворотов на 90°. Мы в состоянии установить ее вид, оттого что знаем, что два последовательных поворота на 90° вокруг одной и той же оси — это то же самое, что один поворот на 180°. Напишем преобразование для 90° в самой общей форме:

Второй поворот на 90° вокруг той же оси обладал бы теми же коэффициентами:

Подставляя (4.28) в (4.29), получаем

Однако из (4.27) нам известно, что

так что должно быть

(4.31)

Этих четырех уравнений вполне хватает, чтобы определить все наши неизвестные а, b, с и d. Сделать это нетрудно. По­смотрите на второе и четвертое уравнения. Вы видите, что a²=d², откуда либо a=d, либо a=-d. Но последнее отпадает, потому что тогда не выполнялось бы первое уравнение. Зна­чит, d=a. А тогда сразу же выходит b=1/2a и с=-1/2а. Те­перь все выражено через а. Подставляя, скажем, во второе

уравнение значения b и с, получаем

а²– 1/4a² = 0. или а⁴ =¹/₄.

Из четырех решений этого уравнения только два приводят к детерминанту стандартной формы. Мы можем принять а=1/Ц2;

тогда

Иными словами, для двух приборов S и T при условии, что Т повернут относительно S на 90° вокруг оси у, преобра­зование имеет вид

Эти уравнения можно, конечно, разрешить относительно С₊ и С_– ; это даст нам преобразование при повороте вокруг оси у на -90°. Переставив еще и штрихи, мы напишем

§ 5. Повороты вокруг оси х

Вы, пожалуй, подумаете: «Это становится смешным. Чему же нас теперь будут учить— поворотам на 47° вокруг оси у, потом на 33° вокруг x? Долго ли это будет продолжаться?» Нет, оказы­вается, я почти все рассказал. Зная только два преобразова­ния — на 90° вокруг оси у и на произвольный угол вокруг оси z (как вы помните, именно с этого мы начали),— мы уже способны производить любые повороты.

Для иллюстрации предположим, что нас интересует пово­рот на угол а вокруг оси х. Мы знаем, как быть с поворотом на угол а вокруг оси z, но нам нужен поворот вокруг оси х. Как его определить? Сперва повернем ось z вниз до оси х, а это есть поворот на +90° вокруг оси у (фиг. 4.8).

Фиг. 4.8. Поворот на угол a вокруг оси х равнозначен повороту на +90° вокруг оси у (а), за которым следует поворот ни а вокруг оси z' (б), вслед за которым про­исходит поворот на -90° вокруг оси. у" (в).

Затем во­круг оси z' повернемся на угол a. А потом повернемся на -90° вокpуг оси у".

Итог этих трех поворотов тот же самый, что при повороте вокруг оси х на угол a. Таково свойство пространства. (Все эти сочетания поворотов их результат очень трудно себе представить. Не правда ли, странно, что, живя в трех измерениях, мы все же с трудом воспринимаем, что произойдет, если сперва повернуться так, а потом еще как-нибудь. Вероятно, если бы мы были птицами или рыбами и если а мы на собственном опыте знали, что бывает, когда все время крутишь разные сальто в пространстве, нам было бы легче воспринимать подобные вещи.) Во всяком случае, давайте выведем преобразование для поворота на угол а вокруг оси х, пользуясь тем, что нам уже известно. При первом повороте на +90° вокруг оси у амплитуды следуют закону (4.32). Если повернутые оси обозначить х', y' и z', то последующий поворот на угол а вокруг оси z переводит нас в систему отсчета х". у", z", для которой

Последний поворот на -90° вокруг оси у" переводит нас в систему х'", у'", z'"; из(4.33) следует

Сочетая эти два последних преобразования, получаем

Подставляя сюда вместо С'₊и С'_– (4.32), придем к полному преобразованию

А если вспомнить, что

то эти формулы можно записать проще:

Это и есть наше искомое преобразование для поворота вокруг оси х на любой угол a. Оно лишь чуть посложнее остальных,

§ 6. Произвольные повороты

Теперь уже понятно, как быть с произвольным поворотом. Во-первых, заметьте, что любая относительная ориентация двух систем координат может быть описана тремя углами (фиг. 4.9).

Фиг. 4.9. Ориентацию лю­бой системы координат х', у', г' по отношению к другой системе х, у, z можно опре­делить с помощью углов Эйлера a, b,g.

Если есть система осей х', у', z', ориентированных относительно х, у, z как угодно, то соотношение между ними можно описать тремя углами Эйлера a, b и g, определяющими три последовательных поворота, которые переводят систему х, у, z в систему х', у', z' . Отправляясь от x, у, z, мы повора­чиваем нашу систему на угол bets вокруг оси z, перенося ось х на линию х'. Затем мы проводим поворот на угол а вокруг этой временной оси х₁, чтобы довести ось z до z'. Наконец, по­ворот вокруг новой оси z (т. е. вокруг z') на угол g переведет ось х₁в х', а ось у в у'. Мы знаем преобразования для каж­дого из трех поворотов — они даются формулами (4.19) и (4.34). Комбинируя их в нужном порядке, получаем

Итак, начав просто с некоторых предположений о свойст­вах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны ампли­туды того, что любое состояние частицы со спином ¹/₂ перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каж­дый пучок в приборе Т с осями х', у' и z'. Иначе говоря, если имеется состояние yчастицы со спином ¹/₂, у которого ам­плитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, у, z равны С₊=<+|y> и С_– =<-|y>, то тем самым мы знаем амплитуды С₊и C_– пребывания вверху и внизу по отношению к оси z' любой другой системы х', у", z' , Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином ¹/₂ в другие системы ко­ординат.