Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

Вспомните, что если поместить вторую поверхность вплот­ную к границе, где свет полностью отражался, то можно до­биться того, чтобы во втором куске вещества все же распро­странялся какой-то свет. То же самое происходит и с частицами в квантовой механике. Если имеется узкая область с таким высоким потенциалом V, что классическая кинетическая энер­гия там отрицательна, то частица никогда не пройдет сквозь нее. Но в квантовой механике экспоненциально убывающая амплитуда может пробиться сквозь эту область и дать слабую вероятность того, что частицу обнаружат по другую сторону — там, где кинетическая энергия опять положительна. Все это изображено на фиг. 5.5.

Фиг. 5.5. Проникновение амплитуды сквозь потенциальный барьер.

Эффект называется квантовомеханическим «проникновением сквозь барьер».

Проникновение квантовомеханической амплитуды сквозь барьер дает объяснение (или описание) a-распада ядра урана. Кривая зависимости потенциальной энергии a-частицы от рас­стояния от центра показана на фиг. 5.6, а.

Фиг. 5.6. Потенциал a-частицы в ядре урана (а) и качественный вид амплитуды вероятности (б).

Если бы попытаться выстрелить a-частицей с энергией Е в ядро, то она почувство­вала бы электростатическое отталкивание от ядерного заряда z и по классическим канонам не подошла бы к ядру ближе, чем на такое расстояние r₁при котором ее полная энергия срав­няется с потенциальной V. Но где-то внутри ядра потенциаль­ная энергия окажется намного ниже из-за сильного притяжения короткодействующих ядерных сил. Как же тогда объяс­нить, отчего при радиоактивном распаде мы обнаруживаем a-частицы, которые, первоначально находясь внутри ядра, оказываются затем снаружи него с энергией Е?Потому что они. с самого начала обладая энергией E, «просочились» сквозь потенциальный барьер. Схематичный набросок амплитуды ве­роятности дан на фиг. 5.6, б, хотя на самом деле экспоненци­альный спад много сильнее, чем показано. Весьма примеча­тельно, что среднее время жизни a-частицы в ядре урана до­стигает 4¹/₂ миллиарда лет, тогда как естественные колебания внутри ядра чрезвычайно быстры, их в секунду бывает 10²²! Как же можно из 10^{– 22} сек получить число порядка 10⁹ лет? Ответ состоит в том, что экспонента дает неслыханно малый множитель порядка 10^{– 45}, что и приводит к очень малой, хоть и вполне определенной, вероятности просачивания. Если уж a-частица попала в ядро, то почти нет никакой амплитуды об­наружить ее не в ядре; если, однако, взять таких ядер побольше и подождать подольше, то вам, может быть, повезет и вы уви­дите, как частица выскочит наружу.

§ 4. Силы; классический предел

Предположим, что частица движется сквозь область, где есть потенциал, меняющийся поперек движения. Классически мы бы описали этот случай так, как показано на фиг. 5.7.

Фиг. 5.7. Отклонение частицы поперечным градиентом потенциала.

Если частица движется в направлении х и вступает в область, где имеется потенциал, изменяющийся вдоль y, то частица полу­чит поперечное ускорение от силы F=-дV/дy. Если сила при­сутствует только в ограниченной области шириной w, то она будет действовать только в течение времени w/v. Частица получит поперечный импульс

p _y = Fw/v

Тогда угол отклонения dq будет равен

где р — начальный импульс. Подставляя вместо F число -дV/дy, получаем

Теперь нам предстоит выяснить, удастся ли получить этот результат с помощью представления о том, что волны подчи­няются уравнению (5.20). Мы рассмотрим то же самое явление квантовомеханически, предполагая, что все масштабы в нем намного превосходят длины волн наших амплитуд вероятности. В любой маленькой области можно считать, что амплитуда ме­няется как

В состоянии ли мы увидеть, как отсюда получится отклонение частиц, когда у V будет поперечный градиент? На фиг. 5.8 мы прикинули, как будут выглядеть волны амплитуды вероят­ности.

Фиг. 5.8. Амплитуда вероятности в области с поперечным градиентом потенциала.

Мы начертили ряд «узлов волн», которые вы можете считать, скажем, поверхностями, где фаза амплитуды равна нулю. В любой небольшой области длина волны (расстояние между соседними узлами) равна

где р связано с V формулой

В области, где V больше, там р меньше, а волны длиннее. По­этому направление линий узлов волн постепенно меняется, как показано на рисунке.

Чтобы найти изменение наклона линий узлов волн, заме­тим, что на двух путях а и b имеется разность потенциалов DV=(дV/дy)D, а значит, и разница Dр между импульсами. Эту разность можно получить из (5.28):

Волновое число p/h поэтому тоже на разных путях различно, что означает, что фазы растут вдоль них с разной скоростью. Разница в скорости роста фазы есть Dk=Dр/h, и накопленная на всем пути w разность фаз будет равна

Это число показывает, на сколько к моменту выхода из полосы фаза вдоль пути b «опережает» фазу вдоль пути а. Но на вы­ходе из полосы такое опережение фаз отвечает опережению узла волны на величину

или

Обращаясь к фиг. 5.8, мы видим, что новый фронт волны повер­нется на угол dq, даваемый формулой

так что мы имеем

А это совпадает с (5.26), если заменить р/М на v, а DV/D на дV/дy.

Результат, который мы только что получили, верен лишь, когда потенциал меняется медленно и плавно — в так называе­мом классическом пределе. Мы показали, что при этих условиях получим те же движения частиц, что получились бы и из F=ma, если предположить, что потенциал дает вклад в фазу ампли­туды вероятности, равный Vt/h. В классическом пределе кван­товал механика оказывается, в согласии с ньютоновской меха­никой.

§ 5. «Прецессия» частицы со спином ¹ / ₂

Заметьте, что мы не предполагали, что потенциальная энер­гия у нас какая-то особая, это просто энергия, производная от которой дает силу. Например, в опыте Штерна — Герлаха энергия имела вид U=-m·B; отсюда при наличии у В прост­ранственной вариации и получалась сила. Если бы нам нужно было квантовомеханическое описание опыта, мы должны были бы сказать, что у частиц в одном пучке энергия меняется в одну сторону, а в другом пучке — в обратную сторону, (Маг­нитную энергию U можно было бы вставить либо в потенциаль­ную энергию V, либо во «внутреннюю» энергию W;куда именно, совершенно неважно.) Из-за вариаций энергии волны прелом­ляются, пучки искривляются вверх или вниз. (Мы теперь знаем, что квантовая механика предсказывает то же самое искривле­ние, которое следует и из расчета по классической механике.)

Из зависимости амплитуды от потенциальной энергии также следует, что у частицы, сидящей в однородном магнитном поле, направленном по оси z, амплитуда вероятности обязана ме­няться во времени по закону

(Можно считать это просто определением m_z.) Иначе говоря, если поместить частицу в однородное поле В на время t, то ее амплитуда вероятности умножится на

сверх того, что было бы без поля. Поскольку у частицы со спи­ном ¹/₂ величина m_z может быть равна плюс или минус какому-то числу, скажем m, то у двух мыслимых состояний в однород­ном поле фазы будут меняться с одинаковой скоростью в про­тивоположные стороны. Амплитуды помножатся на