Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Наш вывод легко обобщается на три измерения. Итог таков:

где

причем подразумевается, что

Такие же уравнения получаются довольно очевидным образом и при обобщении на системы с несколькими электронами, но мы не будем сейчас заниматься выписыванием результатов.

С помощью (18.30) можно рассчитать среднюю энергию атомного состояния, даже не зная уровней энергии. Нужна только волновая функция. Это очень важный закон. Расскажем об одном интересном его применении. Пусть вам нужно узнать энергию основного состояния некоторой системы, скажем ато­ма гелия, но вы затрудняетесь решить уравнение Шредингера для волновой функции из-за большого числа переменных. Поло­жим, однако, что вы решили попробовать какую-то волновую функцию (выбрав ее по своему желанию) и подсчитать среднюю энергию. Иначе говоря, вы пользуетесь уравнением (18.29), обобщенным на три измерения, чтобы узнать, какова была бы средняя энергия, если бы атом был на самом деле в состоянии, описываемом этой волновой функцией. Эта энергия, бесспорно, окажется выше энергии основного состояния — самой низкой энергии, какую может иметь атом. Возьмем теперь новую функцию и вычислим новую среднюю энергию. Если она ниже, чем было при первом вашем выборе, значит, вы подошли ближе к истинной энергии основного состояния. Если вы немного поразмыслите, вы, конечно, начнете пробовать такие функции, в которых есть несколько свободных параметров. Тогда энергия выразится через эти параметры. Варьируя параметры так, что­бы получить наинизшую мыслимую энергию, вы тем самым пере­пробуете за один раз целый класс функций. Скорее всего вы обнаружите, что понижать энергию становится все труднее и труднее, т. е. начнете убеждаться в том, что уже довольно близко подошли к наинизшей возможной энергии. Именно так и был решен атом гелия — никаких дифференциальных урав­нений не решали, а составили особые функции со множеством поддающихся подгонке параметров, которые были подобраны так, чтобы дать средней энергии наинизшее значение.

§ 4. Оператор места

Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |y> каково среднее значение координа­ты х?Разберем одномерный случай, а обобщение на трех­мерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией y (x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить

электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плот­ность вероятности Р(х)меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.

Фиг. 18.1. Кривая плотно­сти вероятности, представ­ляющей локализованную час­тицу.

Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.

Мы видели раньше, что P(x)=| y (x)|²=y*(x) y(х), значит, среднее х можно записать в виде

Наше уравнение для <x>_ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя y оператор

, а когда считаем среднее положение, ставим про­сто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраиче­ский оператор «умножь на х».)Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали

где

и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |a>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |a>, чтобы было

Разложим сперва <y|a> по x– представлению:

Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)

Воздействие на |y> оператора х^ для получения |a> равнознач­но умножению y (x)=<x|y> на х для получения a (х)=<x|a>. Перед нами определение оператора х^ в координатном представ­лении.

(Мы не задавались целью получить x– представление матрицы оператора х^. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что

Тогда вы сможете доказать поразительную формулу

т. е. что оператор х^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)

А может, вы хотите знать среднее значение x²? Оно равно

Или, если желаете, можно написать и так:

где

Под x^² подразумевается х^х^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x²>_ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состоя­ниями). Если вам нужно знать среднее значение хⁿили любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.

§ 5. Оператор импульса

Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероят­ность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда

Обозначим теперь через <р|y> амплитуду того, что состоя­ние |y> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|y>; она является функцией от р, как <x|y> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было

Тогда получится

что очень похоже на то, что мы имели для <x>_ср.

При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>_ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:

Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <y|b> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |b> определяется в импульсном представлении уравнением

Иначе говоря, теперь можно писать

причем

где оператор р^ определяется на языке p– представления урав­нением (18.47).

[И опять при желании можно показать, что матричная запись р^ такова:

и что

Выводится это так же. как и для х.