Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

* Можно выразить это и иначе. Какую бы функцию (т. е. состояние) вы ни выбрали, ее всегда можно представить в виде линейной комбина­ции базисных состояний, являющихся состояниями с определенной энер­гией. Поскольку в этой комбинации присутствует примесь состояний с более высокими энергиями, то средняя энергия окажется выше энергии основного состояния.

* Элемент объема мы обозначаем dОбъем. Он попросту равен dxdydz, а интеграл берется от -Ґ до +Ґ по всем трем координатам.

Глава 19 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В КЛАССИЧЕСКОМ КОНТЕКСТЕ. СЕМИНАР ПО СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле

§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей

§ 3. Два рода импульсов

§ 4. Смысл волновой функции

§ 5. Сверхпроводимость

§ 6. Явление Мейсснера

& 7. Квантование потока

§ 8. Динамика сверхпроводимости

§ 9. Переходы Джозефсона

§ 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле

Эту лекцию я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, что получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людь­ми, которые в квантовой механике уже многое понимают. Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы должны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и полу­чится.

Но это не все. Главное — что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вы­нести ее на семинар. Тема эта — классический аспект уравнения Шредингера, явление сверх­проводимости.

Обычно та волновая функция, которая появ­ляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы — это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действи­тельно имеет классическое значение, именно их я и хочу кос­нуться. Своеобразие квантовомеханического поведения веще­ства в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в круп­номасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой об­стоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.

При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состояний в игру включается только очень-очень малое количе­ство состояний — тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопиче­ском уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эф­фектами — не обычное обсуждение пути, по которому кванто­вая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механи­кой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.

Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравне­ния Шредингера. Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явле­ния сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внеш­нее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост.

Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из а в b по пути r пропорциональна

Амплитуда того, что частица при наличии поля пе­рейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от век­торного потенциала, умноженного в свою очередь на элект­рический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:

Это исходное утверждение квантовой механики.

И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шре­дингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид

где j — электрический потенциал, так что qj — потен­циальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утвержде­нию, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно

каждый раз заменять на градиент минус (iq/h)А, так что (19.2) пре­вращается в

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом q (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле А, j.

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстриро­вать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси x на расстоянии b друг от друга, и существует амплитуда —К того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потен­циал А_x(х, t) в x– направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на exp[(iq/h)A_xb] — экспоненту с показателем, равным произведению iq/h на векторный потенциал, проинтегрирован­ный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать (q/h) A_xєf(x), поскольку А_х, вообще говоря, зависит от х. Если обозначить через С(х)єС_nамплитуду того, что электрон обнаружится возле атома n, расположенного в точке х, то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением

В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е₀. Это, как обычно, дает член Е₀С(х). Затем имеется член — КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n+1, расположенного в х+b, отпрыг­нул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии век­торного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться со­гласно правилу (19.1). Если А_хна расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать по­просту в виде значения А_хпосредине, умноженного на расстоя­ние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже бе­рется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоя­нии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.

Но дальше мы знаем, что если функция С(х)достаточно плав­ная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем ато­мы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизитель­но описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следую­щим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням b, считая b очень малым. К примеру, если b=0, то правая часть будет равна просто (Е₀– 2К)С(х), так что в нулевом приближе­нии энергия равняется Е₀– 2К. Затем пойдут степени b, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, оста­нутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), f(x) и экспоненты и соберете затем члены с b², вы получите