Физика: Парадоксальная механика в вопросах и ответах

Ответ. Это распространенная ошибка среди людей, обладающих определенным практическим опытом, например парашютистов, но в точной науке она неприемлема. В одном очень полезном учебнике для школ с углубленным изучением физики [26] , в разделе 3.16 «Установившееся движение тел в вязкой среде» написано, что при падении шарика в вязкой среде, например воздухе, где сила сопротивления движению тела (аэродинамическое сопротивление) пропорциональна квадрату скорости, уравнение движения имеет вид:

где F – равнодействующая силы тяжести и архимедовой силы;

v – скорость падения тела;

k – коэффициент пропорциональности (сопротивления).

Согласно утверждению авторов учебника, в самом начале движения ускорение падения шарика почти равно ускорению свободного падения, а в дальнейшем, когда скорость нарастает, «ускорение тела обращается в нуль и, начиная с этого момента, тело будет двигаться с постоянной установившейся скоростью». Сказанное выделено курсивом в конце раздела, видимо, как очень важное положение, которое следует получше запомнить. Причем приводятся конкретные данные, когда это ускорение обращается в нуль. Для падающей авиабомбы, например, это произойдет через 5–6 км падения.

Проверим, так ли это на самом деле. Воспользуемся формулой (4.14), заимствованной из цитируемого учебника, и, чтобы быть поближе к практике, расшифруем значение коэффициента k для реальных тел, падающих в воздухе:

где Сx – коэффициент обтекаемости, хорошо известный автомобилистам;

? – плотность воздуха;

S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения.

На падающее тело действуют силы: Р – разность силы тяжести и архимедовой силы, и сопротивление среды R (рис. 20):

Рис. 20. Силы, действующие на тело, падающее в вязкой среде.

В проекции сил на ось падения тела х:

Составляем дифференциальное уравнение движения, используя формальную запись:

Обозначив:

и подставив в (4.18), получим:

или, после разделения переменных:

Интегрируем обе части уравнения:

При х = 0 v = 0, следовательно С1 = 0. Тогда:

Отсюда окончательно находим зависимость скорости v от пути х:

А теперь проверим, при каком значении пути падения х скорость падения достигнет предельного значения, когда ускорение падения равно нулю. С возрастанием х величина:

убывает, стремясь при х ? ? к нулю, а скорость v возрастает, стремясь к некоторой предельной величине с.

Из равенства (4.19) находим:

Однако, как мы видим, скорость эта достигается только при х – со, а стало быть, не достигается никогда. Поэтому все утверждения о моменте, начиная с которого ускорение падения тела становится равным нулю, необоснованны.

Другое дело, что скорость падения может приблизиться к предельной, а ускорение падения может стать очень малым, но равным нулю – никогда. В реальной жизни могут, конечно, встретиться случаи падения, когда тело даже начнет подниматься вверх, например, в восходящих потоках воздуха, чем успешно пользуются птицы и планеристы. Но если считать справедливыми принятые нами условия (4.14), то скорость падения тела в воздухе, как и в любой вязкой сопротивляющейся среде, где сопротивление пропорционально любой (конечной) степени скорости, продолжает расти.

4.9. Вопрос. Если толкнуть плавающее в воде тело, то как скоро оно остановится?

Ответ. С первого взгляда вопрос может показаться некорректным – кажется, что нужно знать массу тела, его обтекаемость, величину импульса толчка и т. д. Но, оказывается, это не так – теоретически тело не остановится никогда. Поясним это, казалось бы, парадоксальное утверждение.

Тело, плывущее в воде с небольшой скоростью v, испытывает сопротивление воды R, пропорциональное первой степени скорости:

где ? – коэффициент сопротивления, зависящий от целого ряда параметров, в данном случае не имеющих принципиального значения. Итак, после сообщенного толчка тело приобретает начальную скорость v0, и затем вдоль линии движения на тело действует только одна сила R, направленная противоположно скорости (рис. 21).

Рис. 21. Силы, действующие на плывущее в воде тело.

Вычисляя проекцию силы, находим:

Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение:

Замечая, что vx = v и ? Fk = – ?v, записываем:

Интегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменной интегрирования в начальный момент, а верхним – в произвольный момент времени.

Учитывая, что при t = 0, v = v0, записываем:

Беря интегралы, получаем:

Откуда:

Определяя время движения до остановки, из равенства (4.32) найдем, что при v=0 (остановкатела) время t = ?. Это означает, что при принятом законе сопротивления движению (4.26) тело теоретически будет двигаться бесконечно долго, все время уменьшая свою скорость.