Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых

Лейбниц написал герцогу Иоганну Фридриху Ганноверскому под предлогом разговора об арифметической машине (к тому времени она получила большую похвалу в Академии, так как ученый представил исправно работающий экземпляр) и заодно согласился на должность, которую тот ему предложил несколько месяцев ранее. В январе 1676 года он занял должность советника, одновременно получив назначение советником нового курфюрста Майнца.

Лейбниц пытался не оставлять Париж и время от времени ездил в Ганновер и Майнц. Он старался поддерживать политические связи и не терять прямого контакта с Академией, а также с учеными и философами, которые посещали город. Благодаря поездкам он мог сообщать о наиболее важных достижениях науки своим покровителям.

В течение нескольких месяцев Лейбницу поступали из Ганновера требования немедленно переехать в этот город, но он тянул с ответом. В итоге ученому поставили ультиматум, поскольку он должен был не только стать советником, но и занять вакантное место библиотекаря герцогской библиотеки. Благодаря этой должности он много разъезжал, покупая частные собрания книг, в которых попадались интересные экземпляры для герцогской библиотеки.

В конце концов в начале октября 1676 года Лейбниц покинул Париж. Больше он туда никогда не возвращался. Путь Лейбница лежал из Кале через Лондон: там он снова встретился с Ольденбургом, которому показал улучшенный прототип арифметической машины, а также с библиотекарем Королевского общества, математиком Джоном Коллинзом, оставшимся под большим впечатлением от эрудиции Лейбница.

Бесконечные ряды

Кроме арифметической машины одним из первых результатов своих исследований, с которыми Лейбниц познакомил Королевское общество, был метод нахождения суммы членов бесконечных рядов.

СУММА ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Первая известная сумма бесконечных членов найдена для так называемой геометрической прогрессии. Результаты вычисления суммы этого ряда фигурируют уже в папирусе Ринда. Задача заключается в том, чтобы найти сумму бесконечного количества степеней, основание которых — число, меньшее единицы. Самый традиционный пример — сумма геометрической прогрессии:

1/2+(1/2)²+(1/2)³+(1/2)⁴+ ... + 1/2+1/4+1/8+1/16+ ...= 1

Этот процесс нагляден: возьмем за единицу площадь квадрата, который мы разделим на две части, и одну из них — снова напополам; из двух оставшихся частей одна снова делится посередине, и теоретически можно продолжить данный процесс до бесконечности. Суммой всех полученных нами фигур является исходный квадрат, то есть единица. С этим типом рядов, которые обычно представлены следующим выражением:

rⁿ = 1+r+r²+r³+r⁴+...

^n>=0

знакомы и работают ученики средней школы. Чтобы найти значение суммы, нам нужно сложить п членов геометрической прогрессии, а затем умножить эту сумму на знаменатель прогрессии г. Затем вычитаем одно выражение из другого:

S = (1+r+r²+r³+r⁴+...+rⁿ)- (r • S = r+r²+r³+r⁴+r⁵+...+rⁿ⁺¹)/(S - r • S = 1 - rⁿ⁺¹)

Таким образом мы можем выделить S и получить значение суммы, которое мы искали:

S = (1-rⁿ⁺¹)/(1-r)

Теперь, если принять, что r имеет значение, меньшее 1, и что вместо сложения п членов мы складываем бесконечное количество, значение rn⁺¹ становится нулем, и, следовательно, сумма сводится к:

S = 1/(1-r)

Математики всегда искали формулы, которые бы позволили с легкостью складывать большое число членов. Уже в античности были известны суммы членов рядов первых степеней: n, n² и n³.

1+2+3+4+5+6+7+...+ = n(n+1)/2 = n²/2+n/2,

1²+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6 = n³/3+n²/2+n/6,

1³+2³+3³+...+n³ = n²(n+1)²/4 = n⁴/4+n³/2+n²/4.

Но с самого начала математики были очень заинтересованы в изучении конкретного случая, когда сумма бесконечного числа членов дает конечное значение. Над этой проблемой работали, например, Демокрит и Архимед.

На основе геометрического ряда

rⁿ

^n>=1

в Средние века исследовали ряды степеней, в которых менялись местами основание и показатель степени, например:

n^r

^n>=1

Вскоре было замечено: если показатель степени r положительный, а n — целое число, сумма превращается в бесконечность. Когда показатель степени r отрицательный, получаются степени дробей, меньших единицы, то есть сумма

(1/n)^r, где r больше единицы.

^n>=1

Французский математик Николай Орезмский (1323— 1382) получил много результатов, исследуя ряды, и первым доказал, что гармонический ряд, то есть ряд, составленный из членов, обратных числам натурального ряда, для r = 1 является расходящимся. Следовательно, сумма большого числа членов стремится к бесконечности. В то время доказательства приводили в буквальном виде, описывая шаги, которые нужно сделать, но мы рассмотрим это искусное рассуждение, пользуясь более привычными символами. Орезмский сгруппировал члены, то есть у него был первый член, два следующих, четыре следующих, восемь следующих и так далее:

1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...+ = 1/2+(1/2+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+...+ = 1/2+7/12+533/840+...

Так получается ряд дробей, каждая из которых больше 1 /2, то есть сумму ряда можно сделать больше любого указанного числа, просто взяв достаточное число членов ряда.

Индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграма (1350-1425) описал среди прочих бесконечных рядов ряды тригонометрических функций синуса и косинуса. Он также нашел ряд арктангенса:

arct x = x - x³/3 + x⁵/5 + x⁷/7 + ,,,

Через несколько лет шотландский математик Джеймс Грегори (1638-1675) первым в Европе открыл этот ряд, о нем узнал Лейбниц и воспользовался им для выведения первого ряда для числа , недостатком которого было то, что он очень медленно приближается к истинному значению. Он известен как ряд Грегори — Лейбница, хотя другие авторы сегодня его называют рядом Мадхавы — Лейбница:

/4 = 1 - 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + (-1)ⁿ/(2n+1) + ...

И Ньютон, и Лейбниц также вычисляли ряды степеней других тригонометрических функций.