Хаос и структура

у=х² + с.

Образующаяся таким образом парабола совпадает своей осью с осью у_у но в зависимости от значения с она будет пересекать ось у на том или ином расстоянии от центра. Разумеется, этих расстояний может быть бесконечное количество, и с может принимать любые значения, нисколько не влияя на структуру самой параболы.

Мы можем, однако, задаться целью получить не просто параболу, но и ее абсолютное положение в данной системе координат. Другими словами, мы можем задаться получить интеграл не вообще, но в определенных пределах. Наш аргумент принимает в таком случае не всякие значения, какие попало, но значения лишь в данных пределах—скажем, от х—а до х = b. Тогда соответственно получается и два неопределенных интеграла—для х = а и для х — b. Если мы теперь возьмем все то, что произошло между этими пределами, т. е. возьмем разницу между этими интегралами, то уже всякая неопределенность исчезнет, и наш интеграл будет ограничен строго определенными пределами. Это и есть т. н. определенный интеграл, и обозначается он так:

где а есть нижний предел, a b—верхний, и весь интеграл равен

I=f(b) — f(a).

Существует специальная теория определенных интегралов — специальный отдел интегрального исчисления. Тут трактуются вопросы о перестановке пределов, о делении промежутка интегрирования определенного интеграла, об определенном интеграле как функции своих пределов, о бесконечных пределах интеграла и о случаях прерывности подынтегральной функции, об изменении пределов в связи с заменой переменных и пр.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении, получивши понятие производной, мы могли распространить это понятие до производных высшего порядка и до частных производных, — мы можем распространить и понятие интеграла. Если возможна производная от производной, полученной тоже как производная, и т. д., т. е. если возможны производные первого, второго, третьего и т. д. порядка, то, очевидно, возможны интегралы не только вообще, но также интегралы двойные и тройные. Равным образом при наличии нескольких независимых переменных возможно и дифференцирование, и интегрирование по какому–нибудь одному переменному (и тогда прочие переменные принимаются за постоянные), т. е. возможны частные производные и частные интегралы.

Кратное и частное интегрирование еще более углубляет и расширяет понятие интеграла.

Этим, однако, далеко не ограничивается область интегрального исчисления. Тут, можно сказать, только начало этой сложнейшей и глубочайшей науки. В поисках дальнейшего углубления и расширения операций под интегралами мы сталкиваемся с рядом дисциплин математического анализа, которые уже требуют для себя ясного и четкого места в общей диалектической системе.

Определенный интеграл есть интеграл, полученный из процесса изменения аргумента между данными пределами. Он несет на себе печать ограниченности области изменения аргумента. Можно еще далее усложнять получение интеграла из инобытийных судеб функции. Можно оперировать не только с производными, но и с теми или другими их модификациями в недрах инобытия. Можно идти к интегралу не просто от производной, но от производной в ее той или иной обусловленности и окружающим инобытием. Мы уже видели, что производная может переходить в свою производную, эта последняя—еще в дальнейшую, и т. д. Однако это есть не единственная инобытийная модификация производной. Можно и не переходить в чистое становление, а ограничиться чисто статическим инобытием. Так, если мы имеем х, то такое, напр., выражение, как

, есть некая инобытийная модификация х, нисколько не становящаяся (в диалектическом смысле), а чисто статическая, потому что здесь дан ряд статических изменений, претерпеваемых х–ом. Точно так же и производную можно брать в ее инобытии не обязательно под формой чистого становления, а только лишь под формой статической измененности. И следовательно, может возникнуть задача получения интеграла именно при помощи такой статически–инобытийной обработанной производной.

В данном случае мы имеем дело, несомненно, с инобытием производной и с инобытием в его субстанциальной положенности. И вот спрашивается: как перейти от такой статически–инобытийной положенной производной к соответствующему интегралу? Это и есть предмет 1ч>й науки, входящей в состав математического анализа, которая носит название интегрирования дифференциальных уравнений.

Что такое дифференциальное уравнение и что значит—решить дифференциальное уравнение? Под дифференциальным уравнением понимается такое, которое содержит в себе дифференциалы, или производные, а решить его — значит найти такое соотношение переменных, которое бы ему удовлетворило в смысле тождества. Пусть, напр., имеется уравнение

уⁿ+у=о,

где уⁿ есть производная второго порядка от первообразной функции у. Решить такое уравнение—значит найти выражение для у, которое бы не содержало никаких производных, или дифференциалов, но содержало бы только х. Здесь мы не можем поступить так, как обычно при непосредственном интегрировании функции. Мы находим здесь вторую производную в сложении со значением первообразной функции и должны исходить из суммы этих двух функций. Дана, стало быть, определенная инобытийная переработка производной. Возьмем другое дифференциальное уравнение:

(x+y)dx+xdy=0.

Здесь два дифференциала даны в своеобразном переплетении с аргументом и с самой первообразной функцией, т. е. тут тоже определенная инобытийная переработка производной; и нужна специальная манипуляция, чтобы дать такую комбинацию и у, в которой бы отсутствовали всякие dx и dy. Приравнение нулю указывает на то, что инобытийная переработка производной (в данном случае — в виде двух дифференциалов) прикреплена здесь к инобытийной субстанциальности своими прочными корнями. Требуется оторваться от этой инобытийной скованности и перейти к первообразной функции, данной как чистый интеграл, несмотря ни на какую связанность производной в этом инобытии. Полученный интеграл, очевидно, будет нести на себе смысловую энергию не просто производной, но и всех ее инобытийных переплетений. Если производную мы вообще понимаем как закон реального инобытия идеальной взаимозависимости, то, очевидно, интегрирование дифференциального уравнения дает интеграл не как просто возвращение от закона реального инобытия идеальной взаимозависимости к самой этой взаимозависимости, но как возвращение к ней от тех или других модификаций и осложнений данного закона реального инобытия, от той или иной его инобытийной переплетенности с другими фактами инобытия.

Таково диалектическое место интегрирования дифференциальных уравнений.

Четкое понимание диалектического места этого вида интегрирования дает возможность найти такое же место и еще для одной дисциплины, входящей в математический анализ, которая в одном отношении даже выходит уже за пределы интегрального исчисления. Прежде чем ее назвать, формулируем еще раз достигнутый нами результат в диалектической интерпретации интегрального исчисления.

Неопределенный интеграл есть возвращение функции к самой себе из недр своего становящегося инобытия, но возвращение пока лишь чисто структурное, пока еще лишенное абсолютно–количественной определенности. Определенный интеграл есть это же возвращение, но уже не просто в смысле структуры, а еще и, кроме того, в смысле количественном; для самопроявлений находимой структуры функции положены четкие количественные пределы. Далее—какая возможна еще дальнейшая интенсификация интегральной определенности, или, другими словами, интенсификация самой интегральности? В определенном интеграле дана определенность границ, очертания. Что может диалектически противостоять этой определенности? Конечно, — определенность того, что содержится внутри границ, внутри очерченных пределов. Это и будет инобытием той определенности, которую содержит в себе определенный интеграл. Такая определенность будет, конечно, зависеть не просто от предельных точек значения аргумента х, но, главным образом, от поведения самой производной, и притом поведения не производной как производной (это имеется в виду уже во всяком неопределенном интеграле), но производной в ее переплетении с другими моментами, дающими ей ту или другую инобытийную определенность и тем самым вносящими эту определенность в недра самого интеграла. Таким образом достигается определенность интеграла внутри его собственных границ; и если определенный интеграл возникает как определенность его количественных границ, то интегрированное дифференциальное уравнение возникает как определенность интеграла внутри тех границ, с появлением которых тоже дается сам определенный интеграл. Ясно, что обе дисциплины интегрального исчисления — теория определенных интегралов и интегрирование дифференциальных уравнений — находятся в четком диалектическом взаимоотрицании.

Возникает вопрос: где же синтез этих двух видов интегральной определенности? Теория определенных интегралов дает определение границ, внешнего очертания, контура интеграла, и притом — в чисто количественном смысле. Интегрирование дифференциальных уравнений дает для интеграла определенность внутреннюю, возникающую как результат инобытийной определенности производной. В первом случае изменяется аргумент в определенных пределах, и за ним пассивно следует функция. Во втором случае не только меняется , но самостоятельность проявляет и сама функция, поскольку она берется не только в своей зависимости от аргумента, но и в своей внеаргументной определенности, зафиксированной «в структуре дифференциального уравнения. Значит, должен возникнуть диалектический синтез двух интегральных опре–деленностей, синтез внешнеколичественный (в смысле пределов, границ) и внутреннеструктурный (в смысле определенной заполненности упомянутых пределов). Этот синтез и дан в той науке, которую в общем виде можно назвать функциональным исчислением и которая более известна в своем частном виде под именем вариационного исчисления.

Сущность вариационного исчисления базируется на расширении самого понятия функции. Сейчас мы укажем, почему в этом и надо искать формулированный только что диалектический синтез двух интегральных определенностей.

Обычно в анализе мы имеем аргумент jc и зависящую от него функцию у. Меняется x, меняется и зависящая от него функция. Можно, однако, под аргументом понимать не просто х, а целую функцию и говорить, таким образом, о зависимости функции от функции. В сущности, и здесь нет ничего нового по сравнению с тем же дифференциальным исчислением, где можно найти сколько угодно зависимостей функции и где дается определенное правило дифференцирования таких «сложных» функций. И не в этом специ–фикум функционального и вариационного исчисления. Здесь имеется в виду не просто зависимость функции от функции, т. е. зависимость функции от количественного значения функции, но тут — зависимость функции от изменения вида функции, от последовательной деформации самой структуры функции. Роль аргумента принимает здесь на себя самый вид функции. Изменяется вид, структура функции, и—соответственно—меняется количествен–ное значение функции, а отсюда—соответственно—возникает то или иное значение интеграла.

Когда в диалектике возникает вопрос о синтезировании границы и ограниченного, всегда ищется категория, которая бы сразу дала и охватила как границу, так и ограниченное, чтобы оба эти начала превратились в нечто цельное, неделимое и даже неразличимое. В определенном интеграле дана определенность границ интеграла в связи с определенностью области изменения аргумента. В интегрировании дифференциального уравнения дана определенность содержания интеграла в связи с определенным содержанием изменения функции. Оба эти взаимопротивоположные момента — граница и содержание—даны количественно, хотя уже в содержании, как в том, что противоположно границе, уже содержится качественный момент, предполагающийся, но не использованный как чистая качественность, а использованный пока только количественно. Стало быть, синтез теории определенных интегралов и интегрирования дифференциальных уравнений есть в сущности синтез формы и содержания, предела и определяемого, границы и ограничиваемого.