Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №1

_{Список литературы}

_{[1] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 285.}

_{[2] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 303.}

_{[3] Энциклопедия элементарной математики. Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. М.-Л., 1951, стр. 275–276.}

Рассмотрим вопрос о количестве решений уравнения

a^x = log_ax (1)

на полуоси х > 0 при 0 < a < 1. Именно, нас интересует вопрос о том, при каких a количество решений равно трем.

Если ?(х) = а^х, то log_a х = ?^{– 1}(х), и наше уравнение (1) принимает вид ?(х) = v^{– 1}(х), что равносильно ?(?(х)) = x или

(2)

Для удобства дальнейшего введем новую переменную t = х•In а и функцию

Тогда

(3)

и уравнение (2) превращается в

(4)

Найдем количество решений данного уравнения. Для этого прежде всего исследуем функцию F(t).

Поскольку исходная функция ?(х) определена на интервале х > 0 и 0 < а < 1, то In а < 0 и t = х In а < 0, т. е. функция F(t) определена на интервале t € (—оо,0).

Асимптотики в предельных точках: lim_t->-ooF(t) = 0–0, lim_t->0–0F(t) = —oo. Т. е. функция F имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Далее,

Рис. 1: График функции F(t)

Для нахождения экстремумов функции F рассмотрим функцию ?(t) = te^t и найдем корни уравнения ?(t) = 1/ln a. Видно, что на интервале t € (—оо,0) имеют место соотношения: lim_t->oo ?(t) = 0–0, ?(0) = 0. Далее, ?'(t) = e^t(t + 1), ?"(t) = e^t(t + 2) и вообще ?⁽ⁿ⁾(t) = e^t(t + n). Поэтому minimum функции ? находится в точке t_min — 1 и равен ?_min = — e^{– 1}

Рис. 2: График функции ?(t) и определение положения точек t₁, и t₂.

Значит:

1) При 1/ln a <= — e^{– 1} <=> a >= e^{– e} экстремумов у функции F нет.

2) При а < е^{– e} функция F имеет один minimum в точке t₁, равный F_min = a^et1/t₁ и один maximum в точке t₂ > t₁, равный F_max = a^et2/t₂; при этом t₁ < = t_min= -1 и t₂ > t_min = -1.

Таким образом уравнение (4) имеет три решения только в случае 2) и лишь в том случае если

F_min > 1/ln a < F_max. (5)

При этом в случае 2) условие (5) является не только необходимым, но и достаточным для наличия у уравнения (4) трех решений. Точки t₁ и t₂ определяются условиями ?(t₁) = t₁e^t1 = ?(t₂) = t₂e^t2 = 1/ln a. Т. е. необходимое и достаточное условие наличия трех решений принимает вид

Левые части уравнений в условиях (6) не зависят от а, и потому эти уравнения имеют вид f(t) = g(a), в то время как неравенства (6) данным свойством не обладают (обе их части зависят от а), что неудобно. Выразим из первого уравнения e^t1= 1/t₁lna и подставим это в соответствующее неравенство. Тогда получим

Аналогично, F_max = e^1/t2/t2. Тогда условия (6) превращаются в

Вспоминая определение функции ?, перепишем условия в форме:

Данные условия удобны тем, что левые части их не зависят уже от а (т. к. функция ? не зависит от а) и имеют вид f(t) = g(а) (т. е. переменные t и а разделены).

Рис. 3: Графики функций ?(t) (красный) и ?(1/t) (синий) и определение точек t1 и t2 (зеленая прямая — на уровне 1/ln a).

Проверку условий (9) проведем в два этапа: сначала докажем выполнение усиленного варианта второго из условий (9), а затем увидим, что первое условие (9) следует отсюда уже автоматически.

Поскольку точки t₁ и t₂ определяются как точки пересечения графика функции ?(t) с горизонтальной прямой на высоте 1/ln a, функция ?(t) имеет единственный minimum в точке t_min = —1, то ясно, что t₁ < —1 < t₂.

Покажем, что Vt € (—1,0) ?(1/t) > ?(t). Для этого рассмотрим функцию ?(t) = ?(t)/?(1/t) = t²е^{t — 1/t}'. Ясно, что ?(-1) = 1, а поскольку

Дальше все просто. Т. к. ?(t) < ?(1/t) Vt € (—1,0), то (обозначив 1/t через ?):

Поскольку t₁ < —1 < t₂, то соединяя (11) и (12), мы получим оба условия (9). Что и требовалось.

Коль скоро при a < е^{– e} оба условия (9) выполнены, то действительно функция F имеет 1 minimum и 1 maximum, выполняется условие (5), и уравнение (4) в самом деле имеет три решения. Значит, и эквивалентное ему исходное уравнение (1) имеет три решения. Указанное положение дел иллюстрируется Рис. 4.

Рис. 4: Графики функций у = a^x (красный), у = log_a х (синий) и у = х (зеленый) — случай трех точек пересечения.