Как сохранить любовь в браке

Чтобы проанализировать игру, давайте посмотрим на ситуации глазами Виктора. Поскольку в данный момент выигрыши Эстер не имеют для нас значения, я обозначил их в матрице вопросительным знаком.

Олень приносит больше баллов, чем кролики, поэтому мы отмечаем этот выбор звездочкой. На языке теории игр выбор охоты на оленя для Виктора «строго доминирует» над ловлей кроликов. Это явно лучший выбор.

Теперь давайте нарисуем матрицу, которая покажет, какой выигрыш получит Виктор, если Эстер предпочтет ловить кроликов.

При таком сценарии для Виктора кролики строго доминируют над преследованием оленя.

Давайте взглянем на варианты Эстер. Опять-таки, для нее лучшим выбором будет охота на оленя, если Виктор тоже решит поохотиться.

А вот как будет выглядеть ситуация для Эстер, если Виктор решит ловить кроликов:

Если свести все матрицы в одну таблицу, она будет выглядеть следующим образом:

Обратите внимание на то, что есть две ячейки, где обе цифры помечены звездочкой, – это совпадающий лучший выбор обоих игроков. Мы называем такие ячейки «решением игры». Почему? Потому что они показывают сценарии, где ни один из игроков не смог бы сделать лучший выбор. Например, посмотрим на ячейку, в которой оба партнера идут охотиться на оленя (3*, 3*). Если Виктор переключится на кроликов, его выигрыш упадет с 3 баллов до 2, а это не лучший выбор. Эстер получит аналогичный результат. Ячейка (3*, 3*) называется «чистой стратегией» уравнения игры Нэша: ни один из игроков ничего не выиграет, если изменит стратегию.

Другая ячейка решения – (1*, 1*) – тоже считается «чистой стратегией» уравнения игры Нэша, хотя и приносит обоим игрокам меньше баллов. Если Виктор переключится на охоту на оленя, его счет упадет с 1 до 0, а это плохая стратегия. Если Эстер решит сделать то же самое, и для нее это будет плохой выбор.

Теперь, когда мы уяснили основные принципы, давайте посмотрим, что произойдет, если Эстер и Виктор будут многократно играть в эту игру и менять стратегии. Ситуация повторяющейся игры немного напоминает фактические отношения между партнерами, в ходе которых между ними многократно повторяется один и тот же обмен. Например, оба партнера могут выбирать в одной половине случаев охоту на оленя, а в другой – ловлю кроликов. Однако можно найти решение для лучшей повторяющейся стратегии («смешанной стратегии») и с точки зрения каждого игрока.

Предположим, что Виктор решает охотиться на оленя с вероятностью _оленя («» – вероятность), а наловить кроликов – с вероятностью (1 – _оленя). Тогда, если Виктор охотится на оленя с вероятностью а и ловит кроликов с вероятностью (1 – _оленя), ожидаемый выигрыш (ЕР) для Эстер, если та решит поохотиться на оленя, будет такой:

ЕР для Эстер, если она охотится на оленя = = (3) (_оленя) + (0) (1 – _оленя).

Если Эстер ловит кроликов:

ЕР для Эстер, если она ловит кроликов = (2) (_оленя) + (1) (1 – _оленя).

Теперь, если мы примем, что EP_оленя = EP_{кроликов}, действия Виктора окажутся безразличны для выигрыша Эстер в случае изменения им выбора. Поэтому изменение выбора Виктора для Эстер приемлемо (ее точка безразличия будет достигнута):

(3) (_оленя) + (0) (1 – _оленя) = (2) (_оленя) + (1) (1 – _оленя)

3_оленя = 1 + _оленя

2_оленя = 1

_оленя = 1/2.

Следовательно, Эстер не заботит, будет ли Виктор с вероятностью 1/2 охотиться на оленя или ловить кроликов с вероятностью 1/2. Его выбор не повлияет на ее выигрыш. Поэтому смешанная стратегия Виктора может привести к уравнению Нэша для смешанной, а не для чистой стратегии.

В этом уравнении аналогичные вычисления показывают, что смешанная стратегия работает иначе. Для выигрыша Виктора не имеет значения, предпочтет ли Эстер охотиться на оленя с вероятностью 1/2 или ловить кроликов с такой же вероятностью. Поэтому когда каждый игрок выбирает оленя или кроликов с вероятностью 1/2, его выбор описывает уравнение Нэша для смешанной стратегии.

Игры с нулевым результатом

В игре типа «победитель получает всё» каждая ячейка в матрице выигрышей будет включать и победителя, и побежденного. В приведенном ниже примере два игрока одновременно передвигают покерные фишки по столу.

В этой игре нет уравнения Нэша для чистой стратегии – у игроков нет возможности получить максимальную выгоду одновременно.

Давайте взглянем на уравнения смешанной стратегии, где каждый игрок делает свой выбор с определенной вероятностью (мы снова будем исходить из того, что в этой игре много раундов). Игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз. В результате он случайным образом выбирает то или иное направление в 50 % случаев. Следовательно, ожидаемый выигрыш при передвижении фишки влево составит:

EP_влево = (0,5) (–3) + (0,5) (1) = –1.

При передвижении фишки вправо ее ожидаемый выигрыш будет равен:

EP_вправо = (0,5) (2) + (0,5) (0) = 1.

Поэтому, если игрок подбрасывает монетку, чтобы решить, двигать ему фишку вверх или вниз, он должен выбрать движение фишки вправо в качестве чистой стратегии, потому что в этом случае ожидаемый выигрыш будет выше, чем при передвижении фишки влево. Поскольку он это знает, то не собирается делать рандомизированный выбор, подбрасывая монетку.

Как мы уже видели, анализ с помощью теории игр позволяет воспользоваться алгеброй для создания идеального уравнения Нэша для смешанной стратегии. Снова выявляем точку безразличия соперников среди прочих чистых стратегий. Вероятность того, что игрок («он») передвинет фишку вверх, становится неизвестной величиной _Вверх, которую мы должны определить. Если он будет двигать фишку вверх с вероятностью _Вверх, которая уже известна, вниз ему придется двигать фишку с вероятностью (1 – _Вверх). Поэтому мы вычисляем ожидаемый выигрыш для другого игрока (для «нее») следующим образом:

ЕР_влево = (_Вверх) (–3) + (1 – _Вверх) (1) = –4_Вверх + 1.

ЕР_вправо = (_Вверх) (2) + (1 – _Вверх) (0) = 2_Вверх.

Теперь примем, что ЕР_влево = ЕР_вправо, чтобы вычислить значение _Вверх, которое сделает ее безразличной к сделанному ею выбору. Вот эти вычисления:

ЕР_влево = ЕР_вправо

–4_Вверх + 1 = 2_Вверх