КОМПАС-3D для студентов и школьников. Черчение, информатика, геометрия

радиус R и длину отрезка ОА, если ВС = 16 мм, = 50°;

радиус R и длину отрезка ВС, если АО = 20 мм, = 50°;

радиус R и угол ср, если АО = 30 мм, ВС =18 мм.

Решение. На рис. 11.6 указаны команды проведения окружностей для определения искомых величин. Знаком «*» отмечены искомые величины, полученные в результате нанесения соответствующих размеров.

Пример 11.7

Условие. Определить периметр треугольника ABC, с медианой AK = 25 мм, построенного по следующим исходным данным:

AK = 20 мм, BK = 16 мм;

ВС = 35 мм, высота АР =15 мм;

ВС = 32 мм, АВ = 16 мм.

Решение. На рис. 11.7 частично показаны вспомогательные окружности, с помощью которых определяются вершины искомых треугольников. Рассмотрим последовательности построений:

а — отрезок АВ; окружности с центром А радиуса 20 мм и с центром В радиуса 16 мм; с центром K радиуса 16 мм;

б — отрезок СВ; окружности с центром K радиуса 17,5 мм и радиуса 20 мм;

в — окружности с центром K радиуса 16 мм и радиуса 20 мм; с центром В радиуса 16 мм.

11.2. Примеры по разным темам с решениями

Пример 11.8

Условие. Две окружности, диаметры которых равны 30 и 20 мм, имеют внутреннее касание в точке А (рис. 11.8, а). Найти диаметр третьей окружности, касающейся двух и их общего диаметра.

Решение. Вначале необходимо построить две окружности заданных диаметров и отрезок, проходящий через их центры. Затем необходимо вызвать команду Окружность, касательная к трем кривым, построить третью окружность и измерить ее диаметр.

Пример 11.9

Условие. В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза АВ которого равна 30 мм, проведены медианы АМ и BN (рис. 11.8, б). Известно, около четырехугольника ABMN можно описать окружность. Найти ее диаметр.

Решение. Вначале строится отрезок АВ заданной длины. Затем из точек А и В проводятся два отрезка под углами 135° и 45° и с использованием команды Выровнять по границе определяется точка С. При включенной привязке Середина несложно провести медианы АМ и BN. На заключительном этапе проводится Окружность по трем точкам и определяется ее диаметр.

Пример 11.10

Условие. Точка K лежит на продолжении стороны AD ромба ADCD за точку D, Е — точка пересечения АС и BK (рис. 11.9), AK = 70 мм, точки А, В и Е лежат на окружности диаметра 60 мм, центр которой принадлежит отрезку AK. Найти длину отрезка BK.

Решение. В данном примере графическое решение получается в результате построения параметрических изображений. Рассмотрим этапы решения примера, показанные на рис. 11.9:

а — строится окружность и отрезок заданных размеров. Положение окружности фиксируется привязками к взаимно перпендикулярным отрезкам;

б — из точки D проводится дуга с центром в точке А;

в — точка дуги В привязкой Точка на кривой перемещается на окружность. Концы отрезков из точек А и K совмещаются с точкой В. В результате точка В может перемещаться по окружности, при этом длины отрезков АВ и KB будут изменяться;

г — проводится отрезок DC, параллельный и равный отрезку АВ. Точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью еще не совпадают;

д — точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью объединяются в точке Е, за счет изменения геометрии изображения на рис. 11.10, г. Измеряется длина отрезка BK = 35 мм.

Пример 11.11

Условие. Трапеция AEFG с основаниями ЕF и AG расположена в квадрате ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно (рис. 11.10). Диагонали AF и EG перпендикулярны, а EG = 102. Найти периметр трапеции.

Решение. На рис. 11.10, а показано, что трапеция с взаимно перпендикулярными диагоналями имеет равные по длине боковые стороны, а точка пересечения диагоналей располагается на отрезке, соединяющем середины параллельных сторон трапеции. На рис. 11.10, б выполнены построения по размерам стороны AF и стороны EG, которая симметрична AF относительно отрезка BD, с помощью команды Симметрия. На рис. 11.10, в показаны измеренные длины сторон трапеции, что позволяет найти периметр трапеции, равный 45.

11.3. Сведение стереометрических задач к планиметрическим

Основной способ решения стереометрических задач — сведение их к планиметрическим. Для этого можно применить метод проекций, заключающийся в проецировании геометрического объекта на подходящую плоскость. Преимуществом метода проекций является то, что он позволяет отобразить на плоском рисунке и увязать друг с другом элементы объектов, не лежащие в одной плоскости. При этом если объект расположить надлежащим образом по отношению к плоскости рисунка, то искомые метрические характеристики (и линейные, и угловые) проецируются на подходящую плоскость в заранее предусмотренном виде, например в натуральную величину.