Краткий курс по статистике

7. Средние величины. Варианты и частоты

1. Если различные элементы принадлежат одному и тому же явлению, оказывают влияние друг на друга, то значения признаков у таких элементов сближаются, что дает возможность рассматривать их как единую совокупность. Для исследования совокупности, обладающей различными значениями признака у отдельных ее единиц, необходимо иметь единую типическую для совокупности величину признака, позволяющую анализировать совокупность и сравнивать динамические изменения в совокупности. Для этого применяется средняя величина. Средняя величина рассчитывается только по количественным признакам, т. е. определение средней по атрибутивным признакам невозможно.

Средняя величина – это наиболее типичное для совокупности значение признака, объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Варианты – различные значения признака, наблюдаемые у членов совокупности. Частоты – числа, показывающие, сколько раз встречается каждый вариант в совокупности. Относительные частоты – отношение соответствующей частоты к объему совокупности.

2. Для осредняемого признака определятся средняя величина (

) – показатель, рассчитываемый сопоставлением абсолютных или относительных величин.

Чтобы получить требуемую среднюю величину, необходимо правильно определить показатели, которые нужно соотнести. Данное исходное соотношение отражает сущность вычисляемой средней величины. Для каждой средней величины может быть только единственное исходное соотношение.

Средняя величина характеризует совокупность в целом и относится к единице совокупности как ее характеристика; отражает влияние всех факторов, влияющих на исследуемое явление, и является для них равнодействующей.

3. Выделяют следующие условия применения средних величин:

однородность исследуемой совокупности. Если некоторые подверженные влиянию случайного фактора элементы совокупности имеют значительно отличающиеся от остальных величины изучаемого признака, то данные элементы повлияют на размер средней для данной совокупности. В этом случае средняя не будет выражать наиболее типичную для совокупности величину признака;

если исследуемое явление неоднородно, требуется его разбивка на содержащие однородные элементы группы. В данном случае рассчитывают средние по группам – групповые средние, выражающие наиболее характерную величину явления в каждой группе, а затем рассчитывается общая средняя величина для всех элементов, характеризующая явление в целом. Она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу включенных в каждую группу элементов совокупности;

достаточное количество единиц в совокупности. При применении выборочного наблюдения именно это условие становится определяющим;

максимальное и минимальное значения признака в изучаемой совокупности. Если изменчивость признака вызвана случайными факторами (в случае больших отклонений между крайними значениями и средней), то, возможно, крайние значения нехарактерны для совокупности и их следует исключить из анализа из-за влияния на размер средней величины.

4. Средние величины подразделяются на степенные средние (средняя степенная, средняя арифметическая, средняя гармоническая и т. д.) и структурные средние (мода, медиана).

Осредняемый признак – признак, по которому находится средняя (х). Величина осредняемого признака у любой единицы статистической совокупности составляет его индивидуальное значение, или варианты (х₁, х₂, x₃, … х_n). Частота осредняемого признака – повторяемость индивидуальных значений признака (f).

Один из наиболее распространенных видов средней – средняя арифметическая – исчисляется, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Для вычисления средней арифметической величины сумму всех уровней признака делят на их число.

Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений; исчисленная таким образом величина – средняя арифметическая взвешенная.

8. Основные виды средних величин

1. Для определения средней арифметической необходим ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f

Средняя гармоническая взвешенная тождественна средней арифметической: когда произведения fx одинаковы или равны единице (m = 1), то применяется средняя гармоническая простая:

где х₁ – отдельные варианты.

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего. Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная:

2. Выделяют следующие основные виды средних величин:

по наличию признака-веса: невзвешенная и взвешенная;

охвату совокупности: групповая, общая;

форме расчета: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д. величины.

Данные средние выводятся из формулы степенной средней:

где x_i – величины, для которых исчисляется средняя;

– средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При при k = – средняя гармоническая; при k = 0 – средняя геометрическая; при k = 2 – средняя квадратическая.

При k = 1 формула расчета степенной средней превращается в формулу расчета средней арифметической:

3. Выделяют следующие основные виды средней арифметической величины: средняя арифметическая невзвешенная, средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена; рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности: