Криптография и свобода

Теорема 2. Пусть П – логарифмическая подстановка.

Тогда для любого ненулевого значения iЄZ/N\{0} из условия, что ни одна из точек x, x+i не является выколотой вытекает, что П(х+i)- П(x) i.

Доказательство.

Пусть П(х+i)- П(x) = i. Тогда Ф^{П(х+i)- П(x)}= Фⁱ, откуда Ф^x+r+ioр=Фⁱ(Ф^x+roр), следовательно, р=рФⁱ. Отсюда следует, что i=0.

Раскинулось поле широко! Операции возведения в степень и логарифмирования в конечном поле позволили ловко избавиться от неопределенности в разности значений подстановки и легко, просто элементарно решить задачу построения матрицы P(П) с минимальным числом нулей. Заметим, что если в определении логарифмических подстановок отказаться от условия, что р – произвольный ненулевой элемент поля GF(N+1), то при р=0 мы получаем обычные линейные подстановки, у которых число нулей в P(П) максимально!

Осталось совсем чуть-чуть: разобраться с выколотой точкой.

Для произвольного ненулевого фиксированного iЄZ/N рассмотрим отображение множества Z/N в Z/N вида:

M_i(х) = П(х+i)- П(х),

где П – логарифмическая подстановка. Тогда, в силу теоремы 1, количество различных значений в множестве {M_i(х), xЄZ/N\{x_{,x– i}}равно мощности этого множества, т.е.N-2, причем, в силу теоремы 2, это множество в точности совпадает с {Z/N\{i}}. В частности, при любом iN/2 существует такое значение х, xЄZ/N\{x,x– i}, что Mi(х)=N/2.}

Теорема 3. Пусть П – логарифмическая подстановка.

Тогда если при некотором iN/2 в i-ой строке матрицы P(П) справедливо p_iN/2>1, то эта строка не содержит нулевых элементов.

Доказательство.

В силу теоремы 2 достаточно доказать, что p_ii0. Условие p_iN/2>1означает, что либо M_i(х_{)=N/2, либо Mi(х– i)=N/2. Зафиксируем то, которое равно N/2, а другое оставшееся значение обозначим через M. Суммируя, как и ранее мы уже делали в этой книге, значения Mi(х) по всем xЄZ/N, получаем:}

N/2(N-1) – i + M + N/2 = 0.

Отсюда вытекает, что M=i, следовательно, p_ii0.

По коням! Пора заняться средней строчкой.

Начнем с самого любимого элемента – p_N/2,N/2. Ранее мы уже отмечали, что этот элемент должен быть всегда четным (рассуждения для случая N=2ⁿ легко обобщаются для произвольного четного N). Следовательно, в логарифмической подстановке возможны только два значения p_N/2,N/2: 0 или 2. Допустим, что p_N/2,N/2=2. В силу теоремы 2 эти значения может давать только выколотая точка x₀ и x_{+N/2, т.е.}

П(х_{+N/2)- П(х)= П(х+N/2+N/2)- П(х+N/2)= П(х)- П(х+N/2)=N/2.}

Отсюда вытекает, что 2П(х_{+N/2)=2П(х).}

Рассмотрим два случая.

1. р=1, следовательно, П(х_{)=0. Тогда П(х+N/2)=N/2. Имеем:}

Ф^П(х0+N/2)= Ф^N/2 Ф^x0+N/2+roр=Ф^N/2 Ф^N/2(1 Ф^x0+r)= р Ф^N/2(1oр)= р 2Ф^N/2 = 1.

Возводя обе части последнего равенства в квадрат и учитывая, что Ф^N=1, получаем такое равенство возможно только в тривиальном поле из 3 элементов.

2. р1, следовательно, П(х_{) =N/2, П(х+N/2)=0, откуда}

Ф^П(х0+N/2)= 1 Ф^x0+N/2+roр=1 р(1 Ф^N/2)= 1 Ф^N/2= 1 р^{– 1}.

Возводя это равенство в квадрат, получаем значение р:

р=2^{– 1}

С учетом условия П(х_{) =N/2 получаем: logФ2^{– 1} = N/2, откуда 2^{– 1} =Ф^N/22^{– 2} =1.} Такое также возможно только в тривиальном поле из 3 элементов.

Следовательно, во всех реальных практически значимых случаях p_N/2,N/2=0. Тогда найдется по крайней мере одна строка i, в которой p_N/2,i2, и по теореме 3 в ней не будет нулей. Общее число нулей в такой матрице, с учетом уже упоминавшейся ее симметричности, будет равно N-3. Это минимально возможное количество нулей и оно оказалось достижимым!

Заметим, что подстановка, обратная к логарифмической, также будет логарифмической. Действительно, если П(х) = log_Ф(Ф^x+roр), то Ф^{П (х)}= Ф^x+roр, откуда

х= log_Ф(Ф^{П (х)-r}oр₁), где р₁ = ( р)Ф^{– r}. Следовательно, П^{– 1}П(х) = log_Ф(Ф^{П (х)-r}oр₁). При этом Ф^{П (х)-r}oр₁=(Ф^x+roр)Ф^{– r}oр₁=Ф^x 0. Для случая х=х _{справедливо: П(х)= logФр, при этом Ф^x0=( р)Ф^{– r}, откуда х = П^{– 1}П(х) = logФ(( р)Ф^{– r}) = logФр1}

Осталось построить в явном виде логарифмическую подстановку. Заметим, что условие N+1 – простое число выполняется для практически очень важного случая N=256, следовательно, логарифмические подстановки заведомо существуют при N=256. Условию N+1 – простое число удовлетворяет также N=16 и именно для этого значения мы сейчас и построим логарифмические подстановки, предоставляя заинтересованному читателю возможность построить логарифмические подстановки при N=256 самостоятельно.

В качестве примитивного элемента поля GF(17) выберем Ф=3, а также положим р=1, r=0. Составим таблицу степеней значения Ф:

Используя эту таблицу, построим логарифмическую подстановку П

и ее матрицу Р(П)

Это подстановка с минимально возможным числом нулей в матрице Р(П).

Это был, пожалуй, мой самый красивый математический результат. Но, к большому сожалению, логарифмические подстановки так и не нашли достойного применения в криптографии. Почему? Да очень просто – их мало. Помните фразу про долговременные ключи-подстановки в дисковых шифраторах: «Их не опробуют. Их покупают.» Если в схемы типа «Ангстрем-3» мы будем ставить только логарифмические подстановки, то опробование всевозможных вариантов подобных подстановок сведется к опробованию всего лишь трех элементов: Ф – примитивного элемента в поле Галуа GF(257), р – произвольного ненулевого элемента поля GF(257) и r – произвольного элемента из Z/256. Это – копейки, совершенно ничтожная, по криптографическим меркам, величина. Если же выбирать подстановку случайно и равновероятно из всей симметрической группы S₂₅₆, то общее число опробуемых вариантов будет совершенно астрономической величиной 256!, намного превосходящей психологически недосягаемую в криптографии величину 10¹⁰⁰.

Но для шифров на новой элементной базе логарифмические подстановки позволили полнее представить общую картину того «лавинного эффекта», к достижению которого так стремятся криптографы всего мира.

Для меня же это означало еще и то, что путь к защите диссертации был открыт, несмотря на пессимистические прогнозы Степанова и проповедуемый им «патриотизм к отделу». Но на Степанова они подействовали не как на ученого, а как на администратора: красивый математический результат получен вышедшим из-под его контроля сотрудником «на стороне», на кафедре криптографии Высшей Школы КГБ. Незамедлительно последовали выводы: наказать, чтобы не высовывался и чтобы другим неповадно было изменять родному отделу! Впрочем, об этом чуть ниже.