Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Рис. 8.65. Анимационная демонстрация приближения синусоиды рядом с меняющимся числом членов

Результирующая картина, показанная на рис. 8.65, показывает как приближаемую синусоидальную функцию, так и графики всех рядов, которые последовательно выводятся в ходе анимации.

8.11.2. Анимирование разложения импульса в ряд Фурье

Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений. Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.

Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции f(x) на отрезке изменения x от 0 до 1. Значения функции f(x) могут быть одного знака или разных знаков. В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье с ограниченным числом синусных членов (гармоник) — до 1, 2, 3...N. На рис. 8.66 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастающего импульса, описываемого выражением f(x)=-1+2*x. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации.

Рис. 8.66. Один из первых стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье

Рис. 8.67 показывает завершающий стоп-кадр анимации, когда число гармоник N равно 30. Нетрудно заметить, что такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя в его начале и в конце все еще заметны сильные отклонения.

Рис. 8.67. Второй (завершающий) кадр анимации

Для f(x) = 1 строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой 1, при f(x)=x приближение для пилообразного линейно нарастающего импульса, при f(x)=x^2 — приближение для нарастающего по параболе импульса, при f(x) = signum(x-1/2) — приближение для симметричного прямоугольного импульса — меандра и т.д. Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса по мере увеличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого числа гармоник осуществляет амплитудный селектор — функция af(t, k), основанная на применении функции Хевисайда.

Самым интересным в этом примере оказывается наблюдение за зарождением и эволюцией эффекта Гиббса — так называют волнообразные колебания на вершине импульса, связанные с ограничением числа гармоник при синтезе сигнала. С ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезает, просто обусловленные им выбросы вблизи разрывов импульса становятся более кратковременными. Амплитуда импульсов может достигать 9% от амплитуды перепадов сигнала, что сильно ухудшает приближение импульсных сигналов рядами Фурье и вынуждает математиков разрабатывать особые меры по уменьшению эффекта Гиббса.

8.11.3. Визуализация всех фаз анимации разложения импульса в ряд Фурье

Можно ли наблюдать одновременно все фазы анимации? Можно! Для этого достаточно оформить анимационную картину, созданную функцией animate, в виде отдельного графического объекта, например, g, после чего можно вывести все его фазы оператором display. Это и иллюстрирует рис. 8.68. На этот раз задано f(x)=signum(x-1/2) и N=25. Таким образом, рассматриваются симметричные прямоугольные импульсы — меандр. У каждого рисунка координатные оси с делениями удалены параметром axes=none.

Рис. 8.68. Иллюстрация получения всех кадров анимации двумерного графика

Любопытно отметить, что при определенных числах гармоник связанная с колебательными процессами неравномерность вершины импульса резко уменьшается. Наблюдение этого явления и является наиболее интересным и поучительным при просмотре данного примера.

При внимательном просмотре рис. 8.68 заметно, что, после некоторого периода установления, фазы анимационной картинки практически повторяются. Это связано с известным обстоятельством — установившийся спектр меандра содержит только нечетные гармоники. Поэтому, к примеру, вид спектрального разложения при 22 гармониках будет тот же, что и при 21 гармонике, при 24 гармониках тот же, что при 23 и т.д. Однако, эта закономерность проявляется только при установившемся (стационарном) спектре.

8.11.4. Наблюдение кадров анимации поверхности

Наблюдение за развитием поверхности производит на многих (особенно на студентов) большое впечатление. Оно позволяет понять детали создания сложных трехмерных графиков и наглядно представить их математическую сущность.

Как и для случая анимации двумерного графика, большой интерес представляет построение всех фаз анимации на одном рисунке. Делается это точно так же, как в двумерном случае. Это иллюстрирует рис. 8.69. На нем представлены 8 фаз анимации трехмерной поверхности cos(f*x*y/3), представленной функцией трех переменных t, х и у. При этом изменение первой переменной создает фазы анимации поверхности.

Рис. 8.69. Фазы анимации трехмерной поверхности

Применение анимации дает повышенную степень визуализации решении ряда задач, связанных с построением двумерных и трехмерных графиков. Следует отметить, что построение анимированных графиков требует дополнительных и достаточно существенных затрат оперативной памяти. Поэтому злоупотреблять числом стоп-кадров таких графиков не стоит.

8.11.5. Иные формы применения функций анимации

Наряду с описанной выше формой применения функций анимации animate и animate3d возможны и иные формы их применения. Ограничимся парой примеров такого применения. В приведенном ниже примере анимация импликативного графика заключается в превращении окружности в наклонный эллипс:

> with(plots) :
plots[animate](implicitplot, [х^2+А*х*y+y^2=2, x=-2..2, y=-2..2,
 grid=[50,50]], A=0..1, frames=25);

Для этого задано 25 кадров (фреймов) изменения параметра А от 0 до 1. В другом примере анимация задает деформацию мембраны в виде квадрата с жестко закрепленными границами:

> plots[animate](plot3d, [sin(А)*ехр(-х^2-y^2), х=-2..2, y=-2..2],
 А=0..2*Pi);

Ввиду очевидности этих примеров графики результатов их выполнения не приводятся — пользователь может просмотреть их самостоятельно.

8.12. Некоторые другие возможности графики

8.12.1. Смена осей координат, масштабирование и сдвиг графиков

Иногда возникает необходимость сменить координаты к какого-то графика или изменить масштаб по определенной оси. Первая задача может несколько озадачить пользователя. Однако она легко решается средствами графики пакета stats — см. примеры на рис. 8.70. Масштабирование и сдвиг решаются проще — введением масштабных коэффициентов и констант сдвига. Но и эти задачи еще проще решаются указанными выше средствами графики.

Рис. 8.70. Примеры смены координат и масштабирования графиков

В первом примере рис. 8.70 используется функция xyexchange(p) меняющая оси у графического объекта р. Во втором случае используется функция xscale(k,p) масштабирующая объект по оси х в k раз. А в третьем примере используется функция сдвига объекта xshift(xs,p) на расстояние xs и масштабирования zscale(k,p) в k раз по оси z. О других функциях подпакета статистической графики можно судить по названиям его функций.