Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

0ē_х

> Del(х^2+у^2+z^2);

2xē_x + 2уē_у + 2zē_z

> Nabla(х^2+у^2+z^2);

2xē_x + 2уē_у + 2zē_z

> Del . %;

6

> Laplacian(х^2+у^2+z^2, [x,y,z]);

6

> Laplacian(f(r,theta,z));

> SetCoordinates('cylindrical' [r, theta, z])

cylindrical_{r, θ, z}

> Laplacian(f(r, theta, z));

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]);

cartesian_{x, y, z}

> v := VectorField(<x,y,-z>);

v := xē_x + уē_у– zē_z

> ScalarPotential(v);

> v := VectorField(<-y,0,z>);

v := -yē_x + zē_z

> ScalarPotential(v); den := х^2 + y^2 + z^2;

den := x² + y² + z²

> ScalarPotential((x,y,z) -> <x,y,z>/den);

(x,y,z)→½ ln(x² + y² + z²)

> SetCoordinates('spherical'[r,phi,theta]);

spherical_{r, φ, θ}

> v := VectorField(<r,0,0>);

v:= r ē_г

> ScalarPotential(v);

> restart:with(VectorCalculus): simplify( Torsion(<t,t^2,t^3>)) assuming t::real;

> Torsion(t -> <2*t,sin(t),cos(t)>);

> SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]); v := VectorField(<y,-x,0>);

cartesian_{x, y, z}

v:= уē_x– хē_у

> VectorPotential(v);

– xzē_x– yzē_у

> SetCoordinates('cylindrical'[r,theta,z]);

cylindrical_{r, θ, z}

> v := VectorField(<r,0,-2*z>);

v:= rē_r– 2zē_z

> VectorPotential(v);

(-r sin(θ)² z - r cos(θ)² z) ē_θ

> simplify(Curl(%));

rē_r – 2zē_z

Обратите внимание на то, что для гарантии правильного выполнения этих команд и отсутствия «зависания» компьютера может потребоваться команда restart и перезагрузка пакета VectorCalculus.

4.11.8. Приближение площади сложной поверхности суммами Римана

Одним из важнейших приложений пакета VectorCalculus является вычисление длин дуг и площадей сложных поверхностей на основе применения линейных и поверхностных интегралов. Иногда это встречает большие трудности и требует специальных подходов. Примером может служить поверхность, заданная рис. 4.40. Эта поверхность построена с имитацией ее освещения от внешнего источника света.

Рис. 4.40 Сложная поверхность с эффектами ее освещения внешним источником света

Применим обычную процедуру вычисления площади поверхности. Для этого вычислим для нее матрицу якобиана и удалим из нее столбец с нулевыми элементами (файл vecrim):

> J := Jacobian(f, [х, у, z]);

> J := DeleteColumn(J, [3]);

Тогда площадь поверхности вычисляется следующим образом:

> Int(Int(dA, x=0..2*Pi), y=0..2*Pi);

К сожалению, этот двойной интеграл Maple не вычисляет из-за сложности подынтегрального выражения, график которого представлен на рис. 4.41.

Рис. 4.41. График подынтегрального выражения

Для приближенного вычисления площади можно разбить поверхность на достаточное число сегментов и использовать замену интегралов суммами Римана. Оценка нижней и верхней сумм Римана для четверти поверхности (ее одного квадранта) представлена ниже:

> for s from 1 to 8 do
 F := (k, t)->subs({x=k*Pi/(10*s), y=t*Pi/(10*s)}, dA):
 A||s := evalf((Pi/<10*s))^2*sum(sum(F(p, q), p=0..10*s-1), q=0..10*s-1)):
 print(A||s);
end do:

7.408455387

7.429353779

7.429810700

7.429973244

7.430045037

7.430081583

7.430102033

> for s from 1 to 8 do
 F := (k, t)->subs({x=k*Pi/(10*s), y=t*Pi/(10*s)}, dA):
 Alls := evalf((Pi/(10*s))^2*sum(sum(F(p, q), p=1..10*s),
 q=1..10*s)):
 print(A||s)
end do:

7.408455386

7.427471278

7.429353778

7.429810700

7.429973260

7.430045062

7.430081587

7.430102036

Поскольку эти суммы явно сходятся, то можно считать применение сумм Римана приемлемым и принять, что площадь данной поверхности приближенно равна:

> Area := 4*7.43;

Area:= 29.72

4.11.9. Вычисление поверхностных интегралов

Приведенный выше пример иллюстрирует трудности вычислений поверхностных интегралов. Разумеется, далеко не всегда Maple требует специальных подходов к вычислению подобных интегралов и многие из них благополучно вычисляются.