Математические головоломки и развлечения

А — Сара должна.

А — Сара не должна.

В — Ванда выполняет поручение.

В — Ванда не выполняет поручения.

С — Камилла может выполнить поручение.

С — Камилла не может выполнить поручение.

Условие задачи состоит из трех посылок. Первая — «Если Сара не должна выполнить поручение, его выполняет Ванда» — сообщает нам, что комбинация А и В недопустима и мы должны изъять из колоды все карточки, на которых она встречается. Сделать это можно так. Введем карандаш в отверстие А и приподнимем его.

Все карточки, оказавшиеся на карандаше, соответствуют высказыванию А. Снимем их с карандаша, введем его в отверстие В и поднимем еще раз. На этот раз на карандаш будут надеты все карточки с запрещенной комбинацией А и В, и мы их отбросим.

Все остальные карточки сложим в одну колоду (порядок карточек и на этот раз роли не играет). Теперь мы готовы ко второй посылке: утверждения «Сара должна» и «Камилла не может» не могут быть истинными одновременно. Иначе говоря, комбинация АС недопустима. Просунув карандаш в отверстие А и подняв его, мы извлечем из колоды все карты с А, но это не те карты, которые нам нужны. Поэтому мы временно отложим их в сторону и обратимся к оставшимся картам, на которых значится А. Введя карандаш в отверстие С, извлечем карты с С. Именно на этих картахфигурирует недопустимая в силу второго условия комбинация АС, и их заведомо можно отбросить. Оставшиеся и временно отложенные карты объединяем в одну колоду.

Из последней посылки мы знаем, что если Ванда выполняет поручение, то его должна выполнить Сара и может выполнить Камилла. Немного подумав, можно понять, что это условие исключает две комбинации: АВ и ВС. Введем карандаш в отверстие А, поднимем и возьмем нанизанные на карандаш карты. Если теперь ввести карандаш в отверстие В этих карт, то, подняв карандаш, мы не обнаружим на нем ни одной карты. Это означает, что две предыдущие посылки уже сделали комбинацию АВ невозможной.

Поскольку все эти карты содержат недопустимую комбинацию АВ, их можно отбросить. Нам нужно еще исключить из остальных карт те, которые содержат комбинацию ВС. Введем карандаш в отверстие В и, вытащив карты с В, отложим их временно в сторону.

Продев карандаш в отверстие С оставшихся в колоде карт, мы не «выудим» из нее ни одной карты. Следовательно, недопустимая комбинация ВС уже была отброшена раньше.

Итак, у нас остается лишь восемь карт, на каждой из которых выписана комбинация А, В и С, совместимая со всеми тремя условиями задачи. При данных посылках этим комбинациям в таблице истинности отвечает значение «истина». Просмотрев все восемь карт, мы убедимся в том, что С на всех картах имеет значение «истина». Это и означает, что заключение о том, будто Камилла всегда может выполнить поручение, верно. Из тех же посылок можно вывести и другие заключения. Например, можно утверждать, что Сара должна выполнить поручение. Но интересный вопрос, выполнит его Ванда или нет, остается неразрешимой («двоичной») загадкой, во всяком случае при тех сведениях, которыми мы располагаем.

Для тех, кто хотел бы воспользоваться перфокартами для решения других задач, приведем одну несложную задачку. В доме живут: Абнер, его жена Верил и трое их детей — Клео, Дейл и Эллсуорт. Зима. Восемь часов вечера.

1. Если Абнер смотрит телевизор, то и жена его также смотрит телевизор.

2. Либо Дейл, либо Эллсуорт, либо оба смотрят телевизор.

3. Либо Верил, либо Клео, но не обе смотрят телевизор.

4. Дейл и Клео либо оба смотрят, либо оба не смотрят телевизор.

5. Если Эллсуорт смотрит телевизор, то Абнер и Дейл также смотрят телевизор.

Кто смотрит и кто не смотрит телевизор?

* * *

Профессор Априле прислал две фотографии, изображенные на рис. 179.

Рис. 179 Дополнительный ряд отверстий у нижнего края этих карточек позволяет безошибочно сортировать их.

Дополнительный ряд отверстий и прорезей у нижнего края каждой карточки позволяет быстро и безошибочно сортировать карты. Булавки, воткнутые в отверстия нижнего ряда, удерживают карты, остающиеся после изъятия части колоды с помощью булавок, воткнутых в отверстия верхнего ряда.

Ответ

Логическая задача решается с помощью перфокарт следующим образом.

Пусть А, В, С, D и Е означают: Абнер, Верил, Клео, Дейл и Эллсуорт. Каждое утверждение считается истинным, если соответствующее лицо смотрит телевизор, в противном случае оно ложно.

Условие 1 позволяет отбросить все карты с комбинацией АВ^– ; условие 2 —карты с комбинацией D^– E^– ; условие 3 исключает комбинации ВС и В^– С^– ; условие 4 исключает комбинации C^– D и CD^– ; условие 5 исключает комбинации А^– Е и DE^– . Остается единственная карта с комбинацией A^– B^– CDE^– . Отсюда мы заключаем, что Клео и Дейл смотрят телепередачу, а остальные члены семьи не смотрят ее.

Глава 36. ТЕОРИЯ ГРУПП И КОСЫ

Понятие «группы» — одно из основных понятий современной алгебры, охватывающее общие свойства самых разнообразных объектов различной природы и служащее неоценимым средством исследования в физике. Джеймс Р. Ньюмен сравнивал его с улыбкой Чеширского Кота: [57] когда Чеширский Кот (алгебра в том виде, как ее обычно преподают в школе) исчезает, остается только его абстрактная улыбка. Но улыбка подразумевает нечто веселое, занимательное. Может быть, теория групп покажется нам менее загадочной, если мы не будем воспринимать ее слишком серьезно.

57

Чеширский Кот — один из персонажей известной сказки Льюиса Кэрролла "Алиса в Стране Чудес"

Трое программистов — Эймз, Бейкер и Кумбс — хотят решить, кому из них платить за пиво. Разумеется, они могли бы бросить монетку, но предпочитают случайный выбор, основанный на игре, которая состоит в блуждании по некоторой сети линий. На листе бумаги проведены три вертикальные линии (назовем их основой).

Один из программистов, держа лист так, чтобы его друзья не видели, что он делает, обозначает эти линии наугад буквами А, В и С (рис. 180, а).

Рис. 180 Блуждание по линиям «основы» и «утка».

Верхний край листа он загибает так, чтобы буквы не были видны. Второй программист наугад проводит ряд горизонтальных линий (назовем их утком), каждая из которых соединяет какие-нибудь две вертикальные линии (рис. 180, б). Третий программист добавляет еще несколько горизонтальный линий, а у одной из вертикальных линий снизу ставит букву X (рис. 180,в).

Лист бумаги разворачивают. Эймз ставит свой палец в верхнюю точку линии А и начинает обводить ее сверху вниз. Дойдя до начальной или конечной точки линии утка (если точка пересечения вертикальной линии с линией утка лежит внутри горизонтального отрезка, Эймз ее пропускает и следует дальше), он поворачивает и проходит всю эту линию до другого ее конца, после чего снова поворачивает и продолжает спускаться вниз до тех пор, пока снова не встретит начальную или конечную точку другой линии утка. Так продолжается, пока он не достигнет нижней точки какой-нибудь вертикальной прямой. Если его путь (на рис. 180,г он показан пунктирной линией) заканчивается не в точке X, то за пиво платит не он. Затем точно таким же способом по сети прямых путешествуют Бейкер и Кумбс. Путь Бейкера заканчивается в точке X, поэтому за пиво приходится платить ему. Каким бы ни было число линий основы (вертикальных прямых), независимо от того, как проведены линии утка (горизонтальные прямые), пути игроков всегда заканчиваются на различных прямых, и никакие два маршрута никогда не приводят к одной и той же линии.

При более подробном рассмотрении этой игры выясняется, что в основе ее лежит одна из простейших групп — так называемая группа перестановок трех элементов. Что же такое группа? Это некая абстрактная структура, состоящая из множества элементов (а, Ь, с….), относительно природы которых не делается никаких предположений, с единственной бинарной операцией (ее мы обозначим символом о), сопоставляющей каждой паре элементов множества некоторый третий элемент. Чтобы такая структура составляла группу, должны выполняться следующие четыре условия: