Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Стереографическая проекция — возможно, наиболее часто применяемая и самая известная азимутальная картографическая проекция. Ее авторство обычно приписывается Гиппарху Никейскому, хотя, возможно, она была известна еще древним египтянам. Проекция впервые упоминается в трактате Птолемея «Планисферий». Оригинал этого документа на древнегреческом языке утерян, до нас он дошел в арабском переводе, автором которого был математик Маслама. Впервые труд Птолемея был напечатан в виде приложения к его «Географии» в 1507 году. В работе была описана астролябия — инструмент для определения положения звезд на небесной сфере с использованием стереографической проекции. Птолемей называл эту проекцию планисферной, и это название сохранилось до XVI века (термин «планисфера» стали применять по отношению к картам звездного неба, так как для их изготовления использовалась именно эта проекция). В Средневековье стереографическая проекция также называлась проекцией астролябии. Название «стереографическая» ввел бельгийский математик Франсуа д’Агильон (1567–1617), который в своем труде «Шесть книг по оптике, полезные для философов и математиков» (Opticorum libri sex philosophis juxta ас mathematicis utiles) изучил свойства ортографической и стереографической проекций. Название «стереографическая» происходит от греческого «стерео» — «твердое тело» и «графиа» — «рисунок, изображение».

* * *

МАСЛАМА (ОК. 950-1007)

Абу аль-Касим Маслама ибн Ахмад аль-Фаради аль-Хасиб аль-Куртуби аль-Майрити родился в Мадриде в середине X века (аль-Майрити в его имени означает «родом из Мадрида»). В юном возрасте он переехал в Кордову, где познакомился с учеными, которые способствовали распространению достижений греческой науки в Андалусии. Со временем Маслама основал в Кордове собственную научную школу. Она стала настолько известной (Масламу называли андалусским Евклидом и королем андалусских математиков), что в нее стремились ученые со всей Андалусии и других регионов. Одно из достижений Масламы — перевод «Планисферия» Птолемея на арабский, который, как и оригинал, был утерян, однако успел лечь в основу последующих переводов книги на латынь и иврит, при этом сохранились комментарии самого Масламы к Птолемею. Кроме этого, Маслама занимался разработкой методов конструирования астролябии, которым он посвятил небольшую книгу; корректировкой таблиц Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана Кордовы (Маслама сделал их более удобными и точными); он написал учебник по арифметике в торговле и трактат по астрономии, а также определил долготу звезды Кальб Аль-Асад (сегодня она называется Регул).

* * *

Хотя полярная версия этой проекции была известна уже в Античности и использовалась при составлении карт звездного неба, в конце XVI и в XVII–XVIII веках проекция применялась для изображения Земли в виде двух отдельных полушарий.

Карта мира Vera totius expeditionis nauticae («Изображение всех морских экспедиций») (1595) Йодокуса Хондиуса (1563–1612) выполнена в стереографической проекции. На карте отмечены маршруты первых кругосветных путешествий, совершенных англичанами — сэром Фрэнсисом Дрейком в 1577–1580 годах и Томасом Кавендишем в 1586–1588 годах.

Определение и картографические свойства

Стереографическая проекция строится следующим образом: рассмотрим сферу и плоскость, которая касается сферы в точке S (например, в Южном полюсе), и построим проекцию из диаметрально противоположной точки N (в нашем случае — Северного полюса). Отображением точки А на поверхности сферы, полученным с помощью стереографической проекции, будет точка А' на плоскости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точки А и N, с этой плоскостью, как показано на рисунке. Иными словами, если мы представим Землю как пластиковый шар, лежащий на столе так, что точкой касания шара и стола будет Южный полюс, то эта проекция будет тенью точки, освещаемой источником света, находящимся на Северном полюсе.

Слева — определение стереографической проекции. Справа — карта, выполненная в полярной стереографической проекции (центр проекции совпадает с Южным полюсом).

Стереографическая проекция имеет следующие свойства.

1. Так как она является азимутальной, карта в этой проекции имеет форму круга и охватывает всего одно полушарие. При изображении в этой проекции больших участков земной поверхности искажения слишком велики.

2. Искажение на меридианах и параллелях равно

Следовательно, эта проекция конформна, то есть сохраняет величины углов.

Однако она не сохраняет ни геодезические линии, ни площади, ни расстояния.

3. Так как эта проекция является азимутальной, она сохраняет геодезические линии, проходящие через точку касания сферы и плоскости. Иными словами, если центр проекции совпадает с одним из полюсов, меридианы изображаются прямыми, проходящими через центр карты.

4. Все меридианы и параллели (точнее все окружности сферы, в том числе большие круги) изображаются окружностями на плоскости, за исключением окружностей, проходящих через точку касания — они изображаются прямыми (это особенность отображений, называемых инверсиями, а стереографическая проекция является результатом инверсии).

5. Локсодромы (кривые на поверхности сферы, пересекающие меридианы под постоянным углом) изображаются в виде логарифмических спиралей.

6. Искажение площадей, форм и размеров вблизи точки касания невелико и возрастает по мере удаления от нее. При выходе за границы полушария, где расположена точка касания (то есть при пересечении экватора в полярных версиях проекции), искажения становятся слишком велики.

Локсодрома на земном шаре и на карте, выполненной в стереографической проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом.

Далее мы аналогично центральной проекции рассчитаем искажения, возникающие при использовании стереографической проекции. Рассмотрим диск D достаточно малого (бесконечно малого) радиуса r, касающийся сферы в точке А широтой .

Примем радиус сферы равным 1, так как речь идет о сферической модели Земли. Посмотрим, как построенный нами диск изменится в стереографической проекции, и определим, какие искажения она вносит.

* * *

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Все мы знаем, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° (или  радиан) — половине полного оборота вокруг оси. Этот классический результат евклидовой геометрии упоминается уже в «Началах» (предложение 32 книги I), созданных греческим математиком Евклидом Александрийским (ок. 325 года до н. э. — ок. 265 года до н. э). Доказательство этого утверждения отличается простотой и изяществом. В данном треугольнике АВС через вершину С проводится линия, параллельная АВ, как показано на рисунке. Так как эта прямая параллельна АВ, обе они образуют равные углы с прямой АС (угол ). По этой же причине они образуют равные углы с прямой ВС (угол ). Так как прямые АС и ВС пересекаются, угол  и противолежащий ему равны как вертикальные. Сумма трех углов при вершине С равна сумме углов треугольника , и , то есть развернутому углу — 180°.

* * *

Перед построением стереографической проекции диска на следующем рисунке обозначим через  угол ONA, равный углу OAN, и, поскольку сумма углов треугольника равна , имеем:

С другой стороны, расстояние между N и А равно |NA| = 2 cos по тригонометрической теореме косинусов (для данного треугольника со сторонами а, b и с и углом , противолежащим стороне а, выполняется равенство а² = Ь² + с² — 2Ьс·cos). По определению косинуса имеем, что расстояние между N и А' — стереографической проекцией точки А — равно:

Чтобы лучше понять, как изменяется диск в стереографической проекции, проведем построение в два этапа. На первом этапе диск преобразуется в диск D', лежащий в плоскости, параллельной D. Центром диска будет точка А' — стереографическая проекция точки А (см. следующий рисунок). В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса) имеем:

<