Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Глобус земного шара

Составить точную карту Земли невозможно. Наиболее точное представление о нашей планете дает глобус, сохраняющий все интересующие нас метрические свойства с учетом коэффициента масштаба. Единственное искажение на глобусе — это коэффициент масштаба, неизменный во всех его точках. В этой модели мы смело можем прокладывать морские и воздушные маршруты, так как румбы и расстояния на глобусе сохраняются. Для определения расстояния между двумя точками земной поверхности, например между двумя городами, нужно построить на глобусе большой круг (это нетрудно сделать с помощью натянутой веревки), затем измерить длину веревки и, наконец, вычислить реальное расстояние с помощью коэффициента масштаба. Аналогично на глобусе можно измерить и другие величины, при этом результат будет точнее, чем при использовании плоской карты. Ошибки измерений на глобусе будут вызваны неточностями, допущенными при измерениях, а не погрешностями, внесенными при изготовлении самого глобуса (при условии, что он был построен правильно). Однако, как вы увидите далее, построить глобус сложно, и при этом все же возникают ошибки.

Современный глобус.

* * *

ИСТОРИЯ ГЛОБУСОВ

Первые глобусы создали греки, которым было известно, что Земля имеет сферическую форму. Первый глобус, о котором сохранились документальные упоминания, был сконструирован грамматиком и философом-стоиком Кратетом Малльским около 150 года до н. э. В то время Америка, Австралия и часть Африканского континента еще не были открыты, и на глобусе были изображены четыре части суши, из которых известной (ойкуменой) была всего одна. Глобусы Земли и звездного неба создавали и использовали греки, римляне и, позднее, арабы.

Первый глобус Земли, дошедший до наших дней, создал немецкий географ Мартин Бехайм в 1492 году. Эпоха Возрождения стала золотым веком в изготовлении глобусов. Немецкий картограф Мартин Вальдземюллер (ок. 1470 — ок. 1520) совершил прорыв в массовом изготовлении глобусов: он первым использовал отпечатанную развертку глобуса.

Факсимиле глобуса Вальдземюллера (1507).

Изучив глобусы, созданные в разное время, можно увидеть, как при их создании использовались все более совершенные технологии и новая географическая информация. Перелом в усовершенствовании процесса изготовления глобусов, а также в развитии научных теорий, связанных с задачей о построении точной карты, произошел благодаря фламандскому картографу Герарду Меркатору. Он стремился создать глобус, который могли бы использовать мореплаватели и студенты, изучающие навигацию, поэтому на глобусах Меркатора были изображены, в частности, локсодромы. Однако многие созданные им глобусы стали всего лишь изысканными предметами интерьера в домах знати.

КАК СКОНСТРУИРОВАТЬ ГЛОБУС?

Хотя сфера — это, по сути, единственное геометрическое тело, позволяющее точно представить земную поверхность, конструирование сферической модели Земли связано с рядом технических проблем. Первая из них — размер: глобусы слишком малы, чтобы на них можно было рассмотреть все детали. Так, если бы на поверхности глобуса был изображен рельеф земной поверхности в масштабе, то гора Эверест имела бы высоту всего 0,28 мм. Вторая проблема — выбор материала для изготовления основы глобуса. В древности глобусы были полнотелыми и изготавливались из стекла, мрамора, дерева или металлов (золота, серебра, бронзы или свинца), однако начиная с Меркатора картографы стали изготавливать полые глобусы, например из бумажно-гипсовой массы, нанесенной на деревянный каркас. Современные глобусы попрежнему полые, однако технологии их изготовления непрерывно совершенствуются. Сегодня их изготавливают из бумаги, пластика или металла.

Начиная с Вальдземюллера используются отпечатанные развертки глобусов в виде склеенных сферических двуугольников, которые затем наклеиваются на поверхность сферы. При этом возникает та же проблема, что и при составлении карт: на плоском листе бумаги нужно отпечатать изображение, которое затем будет нанесено на поверхность глобуса. Обычно развертка глобуса состоит из 12 сферических двуугольников, центры которых лежат на экваторе. Развертка выполняется в видоизмененной синусоидальной проекции. Сегодня чаще используют две развертки из 12 треугольных секторов, центры которых совпадают с одним из полюсов. Каждая развертка полностью покрывает полушарие. Современные технологии позволяют наносить сферические двуугольники сразу на материал основания глобуса.

Развертка глобуса Мартина Вальдземюллера (1507).

* * *

Глобусы широко используются в картографии, географии, мореходном деле, геодезии, океанографии, климатологии, сейсмографии и других науках. Они позволяют получить реальное представление о том, как выглядит Земля, какую форму она имеет, как ее континенты расположены относительно друг друга. Поэтому важно, чтобы во всех школах и во всех домах был хотя бы один глобус, позволяющий увидеть, как на самом деле выглядит наша планета. Кроме того, благодаря особой конструкции подставки глобуса, мы можем наблюдать за вращением Земли: та часть глобуса, которую мы видим, будет соответствовать той части планеты, где сейчас день, невидимая часть глобуса — той части, где сейчас ночь.

Хотя в теории глобус — это идеальная модель Земли, ввиду некоторых непреодолимых ограничений иногда его использование невозможно (даже если сам глобус сконструирован безупречно).

1. Глобусы хрупкие и объемные, поэтому их сложно хранить, перевозить, а иногда с ними неудобно работать.

2. Производство глобусов очень дорого (особенно это касается моделей большого размера), при этом они недостаточно удобны для изучения деталей.

3. На них сложно выполнять измерения и оценивать величины углов.

4. Глобус позволяет рассматривать только одно полушарие одновременно.

5. Изготовить печатную или электронную репродукцию части глобуса нельзя.

Равнопромежуточные проекции

В завершение этой главы мы расскажем еще об одной группе проекций, обладающих общими метрическими свойствами. Как мы уже говорили, каждый картограф мечтает о карте с постоянным масштабом (коэффициентом уменьшения), единственным искажением которой будет равномерное изменение размера. Однако мы доказали, что построить такую карту невозможно: масштаб любого изображения Земли на плоскости не является постоянным и отличается в разных точках и направлениях, поскольку любая картографическая проекция неизбежно вносит искажения. Тем не менее существуют проекции, в которых некоторое семейство кривых будет иметь постоянный масштаб, а их длина будет пропорциональна длине этих кривых, начерченных на поверхности Земли (такие кривые называются стандартными). Проекции, обладающие этим свойством, называются равнопромежуточными. Рассмотрим три примера проекций этой группы: цилиндрическую, азимутальную и коническую.

Цилиндрическая равнопромежуточная проекция

С математической точки зрения эта проекция тривиальна. В простейшем случае, когда линия касания проходит по экватору, широта и долгота точки интерпретируются как ее декартовы координаты (см. следующий рисунок). В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта участки земной поверхности, расположенные на высоких широтах, словно сжимаются, в проекции Меркатора — расширяются, а в цилиндрической равнопромежуточной проекции все параллели равноудалены друг от друга. Вдоль меридианов и экватора масштаб остается постоянным (в этом случае сетка меридианов и параллелей будет квадратной: такая проекция носит название plate саrr'eе). Кроме того, искажения отсутствуют вдоль меридианов и любых двух параллелей, равноудаленных от экватора (такая проекция называется равнопрямоугольной). Авторство этой проекции обычно приписывают Эратосфену, хотя Птолемей указывает, что ее создал Марин Тирский примерно в 100 году н. э. Начиная с этого времени цилиндрическая равнопромежуточная проекция благодаря простоте построения использовалась весьма часто, особенно в навигации. Она очень удобна для составления карт городов и любых малых участков земной поверхности.

Эта проекция используется в простых картах мира и в картах регионов, не содержащих много географических данных. Однако для составления более или менее подробных карт эта проекция в XX веке практически не применяется. Геологическая служба США и другие агентства обычно используют ее для индексных карт, на которых схематично указываются различные карты, включенные в сборник или атлас, и страница, на которой они находятся.

Карта, выполненная в проекции plate саrr'eе. Эта проекция — частный случай равнопрямоугольной проекции, в которой стандартной параллелью является экватор.

Азимутальная равнопромежуточная проекция

Это четвертая классическая азимутальная проекция. В отличие от трех вышеупомянутых она не является геометрической. Как и в других азимутальных проекциях, геодезические линии, то есть большие круги, проходящие через точку касания сферы и плоскости, изображаются на плоскости прямыми, проходящими через центр карты, при этом угол между геодезическими линиями сохраняется. Эта проекция обладает частным свойством: ее масштаб не изменяется вдоль прямых, проходящих через центр карты (это стандартные линии равнопромежуточной проекции). Иными словами, в этой проекции сохраняются расстояния от любых точек до центра карты. Кроме того, азимутальная равнопромежуточная проекция позволяет представить на одной карте поверхность всего земного шара, однако при выходе за пределы большого круга — границы полушария, проходящей через точку касания сферы и плоскости, — искажения становятся очень велики. Эта карта имеет одну особую точку, которая становится «центром мира». Все расстояния до этой точки сохраняются.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в Северном полюсе. Справа — флаг ООН.

В полярной разновидности этой проекции меридианы изображаются прямыми, исходящими из центра карты — проекции точки касания. Параллели изображаются в виде концентрических окружностей, равноудаленных друг от друга. Карта, выполненная в проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом, прекрасно нам знакома — ее можно увидеть на флаге и эмблеме Организации Объединенных Наций (ООН). Вместо Антарктиды на флаге ООН изображена оливковая ветвь. Так как построение полярной азимутальной равнопромежуточной проекции очень просто, логично предположить, что эта проекция использовалась с древности. Считается, что древние египтяне с ее помощью строили карты звездного неба, однако древнейшая из известных нам карт, выполненных в этой проекции, была изготовлена Конрадом де Диффенбахом в 1426 году. При составлении карты Земли первым эту проекцию применил Меркатор в своей знаменитой карте мира 1569 года. На ней были изображены два круга с изображениями приполярных областей. Позднее эта проекция использовалась для решения самых разных задач: она широко применяется при составлении карт отдельных полушарий и всей земной поверхности, также ее можно встретить во множестве атласов приполярных зон, изданных в последние два столетия. В этой проекции строятся карты приполярных областей, помещаемые рядом с картами мира, выполненными в других проекциях, как, например, на картах в проекции Ван дер Гринтена, выпускаемых Национальным географическим обществом, или в картах Геологической службы США.

Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции, с центром в Кабуле — столице Афганистана.

Так как построить косую и экваториальную разновидности этой проекции сложно, до XIX века они не рассматривались. Косая азимутальная равнопромежуточная проекция используется для составления карт континентов и карт мира с центрами в крупных городах, в отличие от экваториальной разновидности этой проекции — возможно, потому что экватор не проходит через какие-либо «важные», по мнению составителей карт, города или страны.