Мечта об идеальной карте. Картография и математика

* * *

Картографы в зависимости от решаемой задачи используют сферическую модель Земли либо одну из эллипсоидных моделей. Сфера используется в качестве модели при составлении карт в мелком масштабе, то есть карт стран, континентов или крупных регионов. В этом случае различия между упомянутыми моделями будут незаметны, однако при использовании эллипсоида сложность картографических уравнений намного выше. А вот в картах крупного масштаба, на которых изображаются более мелкие территории, например в топографических или навигационных, различия между моделями будут существенными, при этом использование сферической модели влечет значительные ошибки в расстояниях, площадях и углах, поэтому при составлении таких карт картографы используют эллипсоид.

Утверждая, что земная поверхность имеет форму эллипсоида, мы хотим сказать, что форму эллипсоида имеет воображаемая поверхность, обозначающая средний уровень моря во всех точках земного шара, включая районы, находящиеся над поверхностью воды (как если бы существовал воображаемый канал, соединяющий их с морем). Тем не менее геодезические измерения показывают, что описанная нами поверхность — не эллипсоид, так как уровень моря в разных областях отличается ввиду локальных отклонений силы тяготения, вызванных неоднородностью земной коры и другими факторами. Чтобы учесть эти отклонения, была создана новая модель — геоид (этот термин происходит от греческого «гео» — «Земля» и «оид» — форма»). Геоид — это трехмерная фигура, приближенно описывающая средний уровень моря. Ее можно представить как поверхность спокойного моря, в каждой точке которой сила тяготения (или направление отвеса) перпендикулярна поверхности. Если использовать совсем уж научные термины, то геоид — это эквипотенциальная поверхность земного поля тяготения, которая используется в альтиметрии для определения высот различных участков земной поверхности.

В этой книге мы будем считать, что Земля имеет форму сферы, то есть будем использовать сферическую модель.

Математическая модель, описывающая земную поверхность.

Глава 2 Размеры Земли

— Как ты глуп! Видеть тебя — если речь об этом — необходимости у меня, конечно, нет. В тебе, понимаешь ли, нет ничего такого, что особенно радовало бы глаз. Но мне необходимо, чтобы ты жил на свете и чтобы ты не менялся. Ты как платиновый метр, который хранится где-то, не то в Париже, не то поблизости. Не думаю, чтобы кому-нибудь когда-нибудь хотелось его видеть.

— Вот и ошибаешься.

— Не важно, мне во всяком случае не хочется. Но я рада, что он существует, что он равен в точности десятимиллионной доле четвертой части земного меридиана. И я думаю об этом каждый раз, когда при мне что-нибудь измеряют в квартире или когда я покупаю материю. [2]

Жан-Поль Сартр, «Тошнота» (1946)

2

Перевод Ю. Яхиной. — Примеч. ред.

Одновременно с проблемой определения формы нашей планеты возник вопрос о ее размерах. Когда стало понятно, что Земля имеет форму сферы, потребовалось определить ее радиус, так как длина окружности (когда речь идет о сфере, имеется в виду длина любого из ее больших кругов) равна 2r.

Оценки Евдокса и Архимеда

И вновь ответ на вопрос дали древние греки. Как мы рассказали в предыдущей главе, Аристотель в своем трактате «О небе» отмечал, что математики вычислили длину окружности земли — 400000 стадиев. По-видимому, здесь он цитирует греческого математика и астронома Евдокса Книдского (ок. 400 года до н. э. — ок. 347 года до н. э.), который считается создателем математической астрономии.

Следующая оценка размеров нашей планеты содержится в книге «Исчисление песчинок», написанной величайшим греческим математиком Архимедом (ок. 287 года до н. э. — ок. 212 года до н. э). В этой книге он оценивает число песчинок во Вселенной, предварительно вычислив ее размеры. На одном из промежуточных этапов Архимед отмечает, что «периметр Земли равен 3000000 стадиев и не больше», хотя признает, что некоторые оценивают размеры Земли в 300 000 стадиев. Эта цифра казалась Архимеду заниженной — он, как и Платон, считал, что наша планета имеет огромные размеры.

Измерения Эратосфена

Самое известное измерение размеров Земли в древности принадлежит Эратосфену Киренскому (276 год до н. э. — 194 год до н. э.). Чтобы узнать размеры Земли, Эратосфен измерил угол и длину дуги меридиана Александрии. Он определил, что длина всего меридиана равна 252 тысячи стадиев — как вы увидите далее, это очень точный результат. Метод Эратосфена известен нам благодаря греческому астроному Клеомеду (ок. 10 — ок. 70), а также таким классическим авторам, как Герои, Страбон, Плиний и Витрувий.

Эратосфен учел, что Земля имеет форму сферы, а лучи Солнца, достигающие ее поверхности, можно считать параллельными, так как Солнце находится от нас на огромном расстоянии. Ученый провел измерения в Александрии и Сиене (современный Асуан), которые находятся на одном меридиане, определив тем самым дли¬ ну дуги этого меридиана.

Эратосфен определил, что расстояние между Александрией и Сиеной равно 5 тысяч стадиев. Для этого он обратился к погонщикам караванов, которые рассказали ему, что верблюд проходит в день примерно 100 стадиев, а путь от Александрии до Сиены занимает 50 дней. Весьма вероятно, что Эратосфен опирался не только на слова погонщиков верблюдов, а, как хороший ученый, сопоставил их с данными, приведенными в книгах Александрийской библиотеки.

* * *

ЭРАТОСФЕН КИРЕНСКИЙ (276 ГОД ДО Н.Э. — 194 ГОД ДО Н. Э.)

Эратосфен был разносторонним ученым: он занимался географией, математикой, астрономией, философией, хронологией, грамматикой, был литературным критиком и даже писал стихи, за что товарищи наградили его титулом пентатл — «пятиборец», имея в виду пентатлон — состязания в пяти дисциплинах. Было у него и другое прозвище — Бета, то есть «второй». Его можно понимать как намек на то, что Эратосфен, который занимался многими науками, ни в одной из них не достиг совершенства, хотя, отметим, все равно был одним из великих мудрецов Античности. В 30 лет он был назначен главой Александрийской библиотеки и занимал этот пост на протяжении 45 лет, до самой смерти.

* * *

Кроме того, Эратосфен учел, что через Сиену проходит Северный тропик, то есть в полдень в день летнего солнцестояния (примерно 21 июня) солнечные лучи падают на город вертикально. Любой житель и гость Сиены мог подтвердить, что в этот день лучи солнца освещали глубокие колодцы до самого дна.

Схематичное изображение Александрии, Сиены и солнечных лучей, освещающих эти города в день летнего солнцестояния. Эратосфен при измерении размеров Земли использовал похожую схему.

Чтобы измерить угол, определяемый дугой меридиана, Эратосфен также использовал гномон — простой инструмент, представляющий собой вертикальный столб, перпендикулярный горизонтальному основанию. Рассказывают, что в качестве гномона ученый использовал большой обелиск.

С помощью гномона Эратосфен измерил угол наклона Солнца относительно вертикали в полдень в день летнего равноденствия. По его подсчетам, этот угол составил 1/50 окружности, то есть 360°/50 = 7,2°. А поскольку в полдень этого же дня лучи Солнца падают на Сиену вертикально, угол дуги меридиана между Александрией и Сиеной равен , то есть 7,2°.

* * *

ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ГНОМОНА

Зафиксировав гномон в одном положении, мы можем наблюдать движение его тени по мере того, как солнце движется по небу. Так, можно определить, когда наступает полдень — в этот момент Солнце находится в наивысшей точке над горизонтом, а тень гномона будет самой короткой. Гномон можно использовать и в качестве простого компаса, так как в полдень его тень указывает направление «север — юг».

<