Менеджмент: конспект лекций

Итак, пусть величина порожденного риском ущерба моделируется случайной величиной Х (в смысле теории вероятностей). Как известно, случайная величина описывается функцией распределения

F(x) = P (X < x) ,

где x – действительное число (т. е., как говорят и пишут математики, любой элемент действительной прямой, традиционно обозначаемой R 1 ). Поскольку Х обычно интерпретируется как величина ущерба, то Х – неотрицательная случайная величина.

В зависимости от предположений о свойствах функции распределения F(x) вероятностные модели риска делятся на параметрические и непараметрические . В первом случае предполагается, что функция распределения входит в одно из известных семейств распределений – нормальных (т. е. гауссовских), экспоненциальных или иных. Однако обычно подобное предположение является мало обоснованным – реальные данные не хотят «втискиваться» в заранее заданное семейство. Тогда необходимо применять непараметрические статистические методы, не предполагающие, что распределение ущерба взято из того или иного популярного среди математиков семейства. При использовании непараметрических статистических методов обычно принимают лишь, что функция распределения F(x) является непрерывной функцией числового аргумента х .

Обсудим два распространенных заблуждения. Во—первых, часто говорят, что поскольку величина ущерба зависит от многих причин, то она должна иметь т. н. нормальное распределение. Это неверно. Все зависит от способа взаимодействия причин. Если причины действуют аддитивно, то, действительно, в силу Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей есть основания использовать нормальное (гауссово) распределение . Если же причины действуют мультипликативно, то в силу той же Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей следует приближать распределение величины ущерба Х с помощью логарифмически нормального распределения . Если же основное влияние оказывает «слабое звено» (где тонко, там и рвется), то согласно теоремам, доказанным академиком Б.В.Гнеденко, следует приближать распределение величины ущерба Х с помощью распределения из семейства Вейбулла—Гнеденко. К сожалению, в конкретных практических случаях различить эти варианта обычно не удается.

Во—вторых, неверно традиционное представление о том, что реальные погрешности измерения нормально распределены . Проведенный многими специалистами тщательный анализ погрешностей реальных наблюдений показал, что их распределение в подавляющем большинстве случаев отличается от гауссова. К сожалению, в настоящее время в экологической и экономической литературе имеется масса ошибочных утверждений. Существенная часть ошибок относится к использованию математических методов. Особенно это касается статистики и эконометрики . Причины появления ошибок разнообразны.

Итак, рассмотрим ситуацию, когда возможная величина ущерба, связанного с риском, описывается функцией распределения F(x)=P(Х<x). Обычно стараются перейти от функции, описываемой (с точки зрения математики) бесконечно большим числом параметров, к небольшому числу числовых параметров, лучше всего к одному. Для положительной случайной величины (величины ущерба) часто рассматривают такие ее характеристики, как

– математическое ожидание;

– медиана и, более общо, квантили, т. е. значения х = х(а), при которых функция распределения достигает определенного значения а ; другими словами, значение квантили х = х(а) находится из уравнения F(x) = а ;

– дисперсия (часто обозначаемая как σ 2 – «сигма—квадрат»);

– среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии, т. е. σ – «сигма»);

– коэффициент вариации (среднее квадратическое отклонение, деленное на математическое ожидание);

– линейная комбинация математического ожидания и среднего квадратического отклонения (например, типично желание считать, что возможные значения ущерба расположены в таком интервале: математическое ожидание плюс—минус три сигма );

– математическое ожидание функции потерь, и т. д.

Этот перечень, очевидно, может быть продолжен.

Тогда задача оценки ущерба может пониматься как задача оценки той или иной из перечисленных характеристик. Чаще всего оценку проводят по эмпирическим данным (по выборке величин ущербов, соответствующим происшедшим ранее аналогичным случаям). При отсутствии эмпирического материала остается опираться на экспертные оценки, которым посвящена значительная часть следующей главы. Наиболее обоснованным является модельно—расчетный метод, опирающийся на модели управленческой, экономической, социально—психологической, эколого—экономической ситуации, позволяющие рассчитать характеристик ущерба.

Подчеркнем здесь, что характеристик случайного ущерба имеется много. Выше перечислено 7 видов, причем некоторые из них – второй, шестой и седьмой – содержат бесконечно много конкретных характеристик. Нельзя ограничиваться только средним ущербом, под которым обычно понимают математическое ожидание, хотя медиана ущерба не меньше соответствует этому термину. Весьма важны верхние границы для ущерба, т. е. квантили порядка а , где а близко к 1, например, а = 0,999999. При этом с вероятностью, не превосходящей 0,000001, реальный ущерб будет меньше х(0,999999). Сложные проблемы состоят в обоснованном вычислении границы х(0,999999) , их мы не будем здесь касаться.

Что это такое – минимизация риска? Из предыдущих рассуждений следует, что минимизация риска может, например, состоять:

1) в минимизации математического ожидания (ожидаемых потерь),

2) в минимизации квантиля распределения (например, медианы функции распределения потерь или квантиля порядка 0,99, выше которого располагаются большие потери, встречающиеся крайне редко – в 1 случае из 100),

3) в минимизации дисперсии (т. е. показателя разброса возможных значений потерь),

4) в минимизации суммы математического ожидания и утроенного среднего квадратического отклонения (на основе известного «правила трех сигм»), или иной линейной комбинации математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Этот подход используют в случае близости распределения потерь к нормальному как комбинацию подходов, нацеленных на минимизацию средних потерь и разброса возможных значений потерь;

5) в максимизации математического ожидания функции полезности (в случае, когда полезность денежной единицы меняется в зависимости от общей располагаемой суммы, как предполагается в микроэкономике [15], в частности, когда необходимо исключить возможность разорения экономического агента), и т. д.

Перечень может быть продолжен. Например, не использована такая характеристика случайного ущерба, как коэффициент вариации. Однако целью изложения не является построение всеобъемлющей системы постановок задач минимизации риска, поэтому ограничимся сказанным.

Обсудим пять перечисленных постановок. Первая из них – минимизация средних потерь – представляется вполне естественной, если все возможные потери малы по сравнению с ресурсами предприятия. В противном случае первый подход неразумен. Рассмотрим условный пример. У человека имеется 10000 рублей. Ему предлагается подбросить монету. Если выпадает «орел», то он получает 50000 рублей. Если же выпадает «цифра», он должен уплатить 20000 рублей. Стоит ли данному человеку участвовать в описанном пари? Если подсчитать математическое ожидание дохода, то, поскольку каждая сторона монеты имеет одну и ту же вероятность выпасть, равную 0,5, оно равно 50000 х 0,5 + (-20000) х 0,5 = 15000. Казалось бы, пари весьма выгодно. Однако большинство людей на него не пойдет, поскольку с вероятностью 0,5 они лишатся всего своего достояния и останутся должны 10000 рублей, другими словами, разорятся. Здесь проявляется психологическая оценка ценности рубля, зависящая от общей имеющейся суммы – 10000 рублей для человека с обычным доходом значит гораздо больше, чем те же 10000 руб. для миллиардера.