Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

* * *

Векторная графика идеальна, если изображение по каким-либо причинам необходимо увеличить. Как мы видели, векторные изображения можно увеличивать без ограничений.

С другой стороны, векторная графика не подходит для кодирования фотографий или видео. Практически все цифровые камеры сохраняют изображения в растровом формате. Почему? Одной из причин является то, что данные, описывающие векторную графику, должны пройти довольно сложную обработку, прежде чем они создадут окончательное изображение. Процессор должен быть достаточно мощным, чтобы выполнить необходимые расчеты и сделать это быстро. Если объем данных велик, вывод даже небольшого изображения на экран камеры может занять довольно много времени. Тем не менее, существует несколько форматов, которые используют комбинации векторных и растровых изображений.

Помимо преимуществ и недостатков различных форматов, все данные, выводимые на экран или распечатываемые на принтере, нужно сначала переводить в пиксели — основные строительные элементы современных изображений.

Дистанционное зондирование: географические информационные системы

Дистанционное зондирование — относительно новое направление, появившееся в середине XX века. В качестве исследовательского инструмента используются спутниковые снимки. Одним из самых известных искусственных спутников на орбите Земли является Meteosat. Это отличный пример того, как спутниковые изображения применяются для практических целей. Этот спутник используется для составления прогнозов погоды в Европе и Северной Африке. Он является одним из пяти метеорологических спутников, находящихся над экватором и передающих примерно каждые полчаса информацию о состоянии атмосферы. Другими спутниками являются два спутника GOES, передающие информацию для Америки, спутник Insat — для Индии и GMS — для Японии. Они передают фотографии атмосферы, которые можно видеть каждый день на экранах телевизоров по всему миру. Но существует много других спутников, наблюдающих за Землей, которые используются не только в метеорологических целях, но и для нужд картографии, и для изучения природных ресурсов.

Спутники — это огромные цифровые фотокамеры, вращающиеся вокруг Земли на постоянной орбите и делающие снимки поверхности, которые затем пересылаются на компьютеры.

* * *

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СПУТНИКОВЫХ ФОТОГРАФИЙ

Метеорологические спутники передают три вида изображений: инфракрасные, в видимом свете и изображения паров воды.

Инфракрасные фотографии иногда показывают по телевизору. На них изображены теплые объекты в более темных цветах, а холодные — в более светлых. Таким образом, безоблачные регионы, как правило, темнее, хотя так же могут выглядеть очень низкие облака и туман. Высокие облака очень холодные.

На фотографиях в видимом свете безоблачные океаны и суша выглядят темнее, в то время как облака и снег — светлее. Густые облака в большей степени отражают свет и выглядят ярче, чем тонкие облака. Однако на этих изображениях трудно отличить высокие и низкие облака, поэтому также используются инфракрасные фотографии. А ночью ка¬меры видимого света практически бесполезны, и снова используются инфракрасные фотографии.

Изображения паров воды показывают, сколько водяного пара находится в атмосфере. Они очень полезны для определения области, где может пойти дождь. Темные цвета соответствуют сухому воздуху, в то время как яркие белые области показывают, что воздух там более влажный.

Инфракрасная фотография Западной Европы со спутника Meteosat.

То же изображение с камеры видимого света…

…и с камеры, передающей изображения паров воды в атмосфере.

* * *

Датчики, используемые спутниками, очень похожи на обычные цифровые камеры, хотя, конечно, несравненно более эффективны.

Кроме мощности, есть еще одно важное функциональное различие между датчиками на спутниках и обычными фотокамерами: датчики спутников фотографируют на определенной длине волны света в диапазоне от инфракрасного до ультрафиолетового излучения и сохраняют фотографии в виде цифровых изображений. Существуют также датчики, которые фиксируют только невидимый человеческому глазу инфракрасный свет.

Инфракрасные датчики могут определять попадающие в поле действия излучения вещества, такие как дым. В фильмах этот эффект часто показывается как луч цветного света. Спутники оснащены инфракрасными датчиками, которые работают на определенных частотах, и с их помощью можно увидеть мир таким, как он выглядит в других длинах волн, то есть в других «цветах».

Все объекты на Земле характеризуются светом, который они отражают. Объект воспринимается человеком как красный, если он отражает свет определенной длины волны. Другие визуальные системы могут видеть объекты по-другому. Объекты отражают свет с разной длиной волны: если бы это было не так, мы не смогли бы их различать лишь с помощью зрения. Тот же эффект позволяет датчикам спутниковой камеры отличать лес от полей и воды, которые отражают свет разной длины волны.

Спутники оснащены многими другими видами датчиков, например, для измерения температуры, то есть улавливающими инфракрасные волны. Они позволяют отличить белый снег от белых облаков и определить, является ли данная область горячей или холодной. С помощью специальной обработки изображения можно определить, являются деревья в лесу живыми или мертвыми, сгоревшими.

Несмотря на уровень сложности, изображения, передаваемые спутниками, тоже являются цифровыми, как и фотографии, сделанные нами в отпуске. Разница лишь в разрешении. Как и для обычных камер, размер пикселей в изображениях варьируется в зависимости от производителя, но спутники используют свой собственный параметр, называемый пространственным разрешением. Высокое разрешение обеспечивают более маленькие пиксели. Чем меньше пиксель, тем больше разрешение изображения, тем больше оно содержит информации. Разрешение спутниковых фотографий зависит от второго, более сложного параметра, называемого временным разрешением. Это время, которое требуется спутнику для повторного прохождения над той же точкой поверхности.

Как мы убедились по прочтении этой книги, новые геометрии не только возможны, но они также открывают перед человечеством новые области знаний. Хотя эти области могут показаться сложными, на самом деле они являются практическим применением математики. Они не только помогают нам полнее воспринимать реальность, но и широко используются в нашей повседневной жизни. Это не просто абстрактные идеи в умах гениальных математиков: эти открытия помогают нам диагностировать заболевания и ориентироваться во время путешествия. Можно сказать, что новые геометрии сделали видимым то, что на протяжении веков являлось незримым, и тем самым расширили наши горизонты. Таким образом, никогда еще отрицание какой-либо теории не оказывалось для человечества настолько полезным, как это произошло при отказе от пятого постулата Евклида.

Приложение

Теория относительности и новые геометрии

В 1905 г. Альберт Эйнштейн опубликовал «Специальную теорию относительности», которая вызвала сильнейшее потрясение основ физики со времен начала научной революции и фундаментального труда Исаака Ньютона Principia Mathematica («Математические начала натуральной философии»).

Эйнштейн предложил новый взгляд на реальность. Событие происходит в трехмерном пространстве в определенный момент времени. Другими словами, оно происходит в пространстве-времени и описывается четырьмя координатами: три из них определяют его положение в пространстве, а четвертая — во времени. Конечно, эти координаты задаются относительно некой системы координат. Поэтому место события в пространстве-времени зависит от положения наблюдателя, то есть от системы координат, используемой для определения события. Таким образом, различные наблюдатели видят событие по-разному, особенно если они сами движутся с разными скоростями.

Проанализируем эти понятия в геометрическом смысле. В теории относительности расстояние между двумя событиями называется интервалом и делится на две составляющие: пространство и время.

Пространственная составляющая — это расстояние между местонахождениями событий в трехмерном пространстве, в то время как временная составляющая — это промежуток времени между двумя событиями. Эти составляющие зависят от используемой системы координат и ее ориентации, поэтому различные наблюдатели могут получить разные результаты. Однако интервал, разделяющий два события в четырехмерном пространстве-времени, является абсолютным. Он один и тот же и для неподвижного наблюдателя, и для другого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью относительно неподвижного.

Для наблюдателей, улетающих от Земли со скоростью, близкой к скорости света, пространственные и временные составляющие интервала будут совершенно разными. Один наблюдатель может решить, что два события разделяют 200 лет, в то время как другой может сделать вывод, что они происходят одновременно. Их восприятие пространственных и временных составляющих может сильно отличаться от нашего. Геометрия пространства-времени оказывается странной. В четырехмерном пространстве расстояние между двумя точками (интервал между двумя событиями) является неизменным, в то время как две составляющие могут быть совершенно различны.