Музыка сфер. Астрономия и математика

Конусообразная тень Земли и относительное расположение Земли, Луны и Солнца.

Используя обозначения, указанные на иллюстрации, установим следующие соотношения (x — вспомогательная переменная, которая используется для упрощения расчётов):

Подставив в эту систему уравнений соотношения T_s=400•T_L и R_s=400•R_L, исключим вспомогательную переменную x. Упростив выражения, получим:

Эта формула позволяет выразить все приведённые выше расстояния через радиус Земли:

Сюда нужно подставить радиус нашей планеты, чтобы определить все расстояния и радиусы небесных тел в системе «Земля-Луна-Солнце». Аристарху Самосскому не удалось вычислить радиус Земли, следовательно, он получил лишь ряд соотношений, но не расстояния и радиусы в явном виде. Сегодня радиус Земли до экватора известен: он равен 6645 км. Подставив это значение в приведённые выше выражения, получим следующие результаты: R_L=1850 км (реальное значение 1738 км), расстояние TL=424000 км (реальное значение 384000 км), R_s=740000 км (реальное значение 696000 км), расстояние TS=169600000 км (реальное значение 149680000 км).

Мы привели эти результаты не для того, чтобы сравнить их с фактическими значениями, а для того чтобы показать, насколько умело действовал грек, получивший настолько точные значения примитивными методами.

Зная точный момент первого и последнего касания границы Луны и конусообразной тени, можно определить диаметр сечения конуса (слева). Зная время, за которое тень покроет поверхность Луны, можно измерить диаметр Луны (справа).

Глава 3. Как определить массу центральной звезды планетной системы

Рассмотрим движение экзопланет вокруг центральной звезды по круговой орбите радиуса a. Приравняем силы, действующие на планету:

Упростив, получим значение скорости v:

Период P обращения планеты вокруг звезды по круговой орбите равен:

Подставив в это выражение приведённое выше значение скорости v, имеем:

Для каждой экзопланеты можно выразить постоянную, которая приводится в третьем законе Кеплера:

Записав указанное выше соотношение для Земли, период обращения которой вокруг Солнца равен P=1 год, а радиус орбиты, которую мы будем считать окружностью, равен а=1 а.е., получим следующее уравнение:

Разделив друг на друга два последних равенства и приняв массу Солнца M_s=1, получим:

Мы знаем, что a — радиус орбиты (в а.е.), P — период обращения (в годах), таким образом, мы можем определить массу центральной звезды М_E (точнее, отношение её массы и массы Солнца). Масса центральной звезды в планетной системе М_E (относительно массы Солнца) рассчитывается по формуле:

где a — радиус орбиты экзопланеты (в км), P — период обращения вокруг звезды (в днях). По этой формуле можно вычислить массу звёзд Ипсилон Андромеды и Глизе 581 относительно массы Солнца. Полученные значения будут соответствовать приведённым в таблице на странице 60.

Глава 4. Упрощённые расчёты расстояния от Земли до Солнца во время транзита Венеры в 1769 году

Отчасти пожертвовав точностью вычислений, мы попытались упростить математические выкладки и представить достаточно простой и доступный для неспециалистов метод, основанный на гипотезах Галлея и Делиля. Возьмём за основу две гипотезы: будем предполагать, что орбиты Венеры и Земли — это окружности, в центре которых находится Солнце; Венера, центр Солнца и точка, в которой находится наблюдатель на поверхности Земли, лежат в одной плоскости. Будем использовать данные, полученные во время прохождения Венеры по диску Солнца 3 июня 1769 года наблюдателями, расположенными в удалённых друг от друга точках одного и того же меридиана: в норвежском городе Вардё и в Папеэте (Таити) — это две наиболее удалённые друг от друга точки, для которых известны результаты наблюдений. Используем некоторые результаты наблюдений и рассчитаем расстояние от Земли до Солнца.

Экспедиции в Вардё и Папеэте были организованы английскими учёными. Участники первой экспедиции отправились в Тихий океан, чтобы наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца с острова Таити. Наблюдения провёл Чарльз Грин и его заместитель, в то время никому не известный Джеймс Кук. Участниками второй экспедиции были глава Венской обсерватории святой отец Максимилиан Хелл, датский астроном Педер Хорребоу и юный англичанин Боргрюинг. Они направились в Вардё, на северо-западную оконечность Норвегии, где смогли наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца во время полярного дня. Таким образом, учёные получили результаты наблюдений из двух точек одного меридиана, удалённых друг от друга на огромное расстояние.

Результаты наблюдений прохождения Венеры по диску Солнца 3 июня 1769 года, опубликованные в «Истории астрономии» Антона Паннекука.

Как мы уже объясняли, с помощью параллакса можно вычислить расстояния между планетами, зная величины углов и референсное расстояние. При наблюдении прохождения Венеры по диску Солнца можно определить параллакс Венеры и Солнца и вычислить расстояние между Солнцем и Землёй. Для этого проще всего наблюдать прохождение Венеры из двух достаточно далёких друг от друга точек земной поверхности. Измерив время прохождения в обоих случаях, можно рассчитать требуемые параллаксы и расстояние от Земли до Солнца.

— параллакс Солнца, или угол, под которым виден радиус Земли при наблюдении с Солнца.

Параллакс Солнца — это угол , изображённый на предыдущем рисунке.

По определению тангенса, имеем

Так как величина угла очень мала, его тангенс примерно равен самому углу, выраженному в радианах. Выразив расстояние от Земли до Солнца, r, получим:

Для наблюдения этого параллакса мы должны находиться на Солнце, что невозможно. Наблюдатели располагаются в разных точках земной поверхности и смотрят на Солнце с Земли. Они видят прохождение Венеры по диску Солнца по-разному — точно так же мы видим один и тот же предмет немного по-разному, когда смотрим на него отдельно правым и левым глазом.

Рассмотрим двух наблюдателей, которые располагаются в точках A и B одного меридиана (с целью упрощения расчётов) на разных широтах. Они видят Венеру как точку (или маленький круг) на диске Солнца в двух разных положениях, A' и B'. Сравнив результаты этих двух наблюдений (см. следующий рисунок), мы сможем измерить смещение: расстояние A'B' соответствует расстоянию между видимыми положениями Венеры при одновременном наблюдении из точек A и B.