Музыка сфер. Астрономия и математика

По результатам наблюдений за движением Венеры в течение транзита можно изобразить на диске Солнца её траекторию. Если мы ведём наблюдения из точек A и B, получим две параллельные линии. Расстояние между ними будет параллаксным смещением , которое в любой момент времени будет соответствовать расстоянию A'B'. Чтобы упростить расчёты, будем считать, что центры Земли (О), Венеры (V) и Солнца (C), а также точки земной поверхности A и B, из которых ведётся наблюдение, расположены в одной плоскости. Углы при вершине P в треугольниках APV и BPC равны как вертикальные. Так как сумма углов любого треугольника равна 180°, выполняется следующее соотношение:

_v+₁=_s+₂

Введём угол , которым обозначим расстояние между различными положениями Венеры на диске Солнца (оно будет равно расстоянию A'B' в любой момент времени). Изменив порядок слагаемых, получим:

По определению, параллакс Венеры равен:

параллакс Солнца равен

Подставив эти выражения в приведённое выше уравнение, получим:

В частности, параллакс Солнца _s будет рассчитываться так:

где — расстояние между двумя траекториями Венеры, видимыми из различных точек земной поверхности, а отношение r_t/r_v можно рассчитать по третьему закону Кеплера. Куб этого отношения должен быть пропорционален квадрату отношения периодов обращения планет вокруг Солнца. Периоды обращения Венеры и Земли известны и равны 224,7 дня и 365,25 дня соответственно. Таким образом, параллакс Солнца _s удовлетворяет соотношению:

_s=0,38248 .

определяется на основе результатов наблюдений из точек A и B, находящихся на одном меридиане. Мы используем рисунок XVIII века, на котором изображена траектория Венеры, видимая из разных точек одного меридиана при транзите.

Рассчитать можно разными способами:

1. Простейший способ — непосредственное измерение по рисунку, приведённому на странице 159: достаточно рассмотреть отношение диаметра Солнца D на рисунке и угловой размер Солнца. Угловой размер Солнца равен 30 минутам дуги, выраженным в радианах. Имеем:

2. Также можно измерить хорды окружности на рисунке. Этот способ точнее, так как измерить длины хорд A₁A₂ и B₁B₂ всегда можно с большей точностью, чем расстояние между этими хордами A'B'.

Рисунок позволяет связать длины хорд A₁A₂и B₁B₂с расстоянием между ними, A'B'.

По теореме Пифагора для треугольников SB'B₁ и SA'X₁ получим

3. Вместо расстояний можно отсчитывать время. Достаточно рассмотреть соотношение

где t_A и t_B — время прохождения A₁A₂ и B₁B₂. Обозначив через t₀ гипотетическое время транзита по всему диску Солнца, через t' — время, соответствующее , установим соотношение:

Использовать временные интервалы вместо расстояний следует с осторожностью. Как показано на следующем рисунке, следует различать время внешнего касания (C₁ и C₄) и внутреннего касания (C₂ и С₃) Венеры с диском Солнца. Внутренние касания всегда можно определить точнее, несмотря на искажения, вносимые эффектом чёрной капли. По этой причине в расчётах учитываются только моменты внутреннего касания.

Наиболее точно можно определить моменты внутреннего касания C ₂ и C ₃ , поэтому именно они используются в расчётах.

На основании результатов наблюдений транзита Венеры 1769 года, полученных в Вардё и Папеэте, получим следующие значения (с учётом того, что расстояние AB по прямой равно 11425 км).

Расстояние от Земли до Солнца, равное 1 астрономической единице, вычисленное тремя описанными выше методами.

Можно видеть, что точность результатов достаточно высока, если принять во внимание простоту использованных методов. Сегодня расстояние от Земли до Солнца, определяемое как 1 астрономическая единица, принимается равным 149,6•10⁶км. Следует отметить, что точность второго результата, полученного методом измерения хорд, выше, так как измерить хорды можно с большей точностью, чем непосредственно . Последний метод, в котором учитывается время прохождения, представляет интерес, поскольку позволяет провести более чёткую аналогию с современными методами. Однако погрешность при этом выше, так как метод требует использования вспомогательной гипотезы, согласно которой скорость движения Венеры во время прохождения по диску Солнца постоянна в течение всего транзита.

Расстояние от Земли до Солнца, вычисленное в XVIII веке, заключалось на интервале от 145 до 155 млн километров. По результатам наблюдений за прохождением Венеры в XIX веке этот результат был улучшен, а максимальная точность была достигнута в 2000 году с помощью радара. Сегодня расстояние от Земли до Солнца принимается равным 149,597870691•10⁶км.

Глава 5. Определение часовых линий наклонных солнечных часов

Солнечные часы, как правило, устанавливаются на стенах зданий. Если стена здания не расположена точно вдоль линии восток-запад, часы обычно направлены в сторону горизонта, по которому движется Солнце в течение дня. Чтобы провести часовые линии на циферблате вертикальных неориентированных солнечных часов (они называются наклонными), нужно знать угол, под которым располагается стена. Далее мы объясним, как можно вычислить этот угол a — азимут стены. Пока что будем предполагать, что угол a известен.

Часовые линии в этом случае строятся так же, как и в других разновидностях солнечных часов, то есть путём проецирования часовых линий экваториальных, горизонтальных и вертикальных часов на плоскость циферблата наклонных часов, как показано на иллюстрации. Следует напомнить, что линия, указывающая полдень на циферблате любых вертикальных часов, совпадает с направлением отвеса, закреплённого в той же точке, что и гномон. Гномон наклонных часов, как и любых других солнечных часов, направлен вдоль оси вращения Земли.