Нестандартные задачи по математике в 4 классе

Если задача не получается, ее надо рисовать:

Нарисуем два луга, один вдвое больше другого. Разделим большой луг на две части. Первая часть — это работа всей артели в первые полдня. Вторая часть — работа половины артели во вторую половину дня. Значит, первая часть большого луга вдвое больше второй.

Малый луг тоже разделим на две части. Первая часть малого луга равна второй части большого луга, так как ее выкосила такая же группа косцов за то же время. Значит, первая часть малого луга равна 1/3 большого луга. Вторая часть малого луга равна 1/2 — 1/3 = 1/6 большого луга.

Вторую часть малого луга косил один косец целый день. Значит, большой луг один косец косил бы 6 дней. Значит, две трети большого луга один косец косил бы 4 дня. А так как вся бригада косила две трети большого луга полдня, то бригада состояла из 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

Задача 158. Поезд прошел мост длиной 200 м за 1 мин. Длина самого поезда 800 м. Мост какой длины прошел бы этот поезд за 2 мин, если бы двигался с той же скоростью?

Важно понять, что движение поезда через мост состоит из двух этапов. Вначале тепловоз въезжает на мост и проезжает весь мост. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проходит расстояние, равное длине моста. Но когда тепловоз съезжает с моста, поезд еще находится на мосту. Начинается второй этап движения по мосту, когда тепловоз стягивает с моста последний вагон. На этом этапе тепловоз (а значит, и весь поезд) проезжает расстояние, равное длине поезда. Определим сначала скорость поезда. Его тепловоз за 1 минуту прошел по мосту 200 м, а потом еще 800 м (пока не был вывезен с моста последний вагон). Значит, за 1 минуту поезд проходит 1 км, то есть скорость его равна 1 км/мин. За 2 минуты поезд пройдет 2 км, причем последние 800 м его тепловоз будет вывозить с моста последний вагон, а первые 1 км 200 м тепловоз будет ехать по мосту.

Ответ: 1200 м.

Задача 159. Поезд длиной 750 м шел мимо переезда 30 секунд. Какова скорость поезда?

Паровоз продвинулся за 30 секунд на 750 м. Разделив этот путь на время движения — на 30 секунд, получим скорость.

Ответ: 25 м/сек.

Задача 160. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший 2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гордеев. Известно, что Андреев с Гордеевым сыграли вничью. Установите результаты остальных пяти партий.

Запишем условия задачи в турнирную таблицу.

Попробуем определить, сколько очков могли набрать участники этого турнира. Каждая партия приносит одно очко играющим: либо это очко получает тот, кто выиграл (а проигравший получает 0), либо это очко делится поровну между участниками встречи, как это произошло в партии Андреева и Гордеева. Итак, всего участники турнира набрали столько очков, сколько произошло партий в этом турнире.

Каждый участник сыграл по три партии, а так как партии игрались в один круг, то всего партий было 6. Это можно понять из рассмотрения таблицы. В ней 12 свободных клеток (по 3 у каждого игрока), и после каждой партии заполняются 2 клетки. Значит, партий 6. Вывод: всего участники набрали 6 очков.

Как же могли распределиться эти очки между ними? Мы можем это понять из условий задачи — из таблицы. Андреев мог набрать не больше З2 очков, так как сыграл вничью с Гордеевым. Гордеев набрал не меньше очка, так как сыграл вничью с Андреевым. Но тогда очки у участников, занявших места между Андреевым и Гордеевым, могут быть от 1 до 3. Минимально это могут быть следующие результаты:

Гордеев — 1\2 очка, Власов — 1 очко, Борисов — 1. 1\2 очка, Андреев — 2 очка. Однако, в этом случае общее число очков равно 5, а должно быть 6. Поэтому нужно распределить между участниками недостающее очко.

Попробуем дать еще пол-очка Гордееву. Тогда у него будет 1 очко, у Власова — не меньше 1. 1\2, у Борисова — не меньше 2, у Андреева — не меньше 2. 1\2 очков. То есть общее число очков будет не меньше 7. Вывод: у Гордеева только 1\2 очка, что можно отметить в турнирной таблице:

Попробуем, оставив 1\2 очка у Гордеева, дать лишние пол-очка Власову. Тогда у него будет 1. 1\2 очка, у Борисова — не меньше 2, у Андреева — не меньше 2. 1\2 очков. То есть общее число очков будет не менее 6. 1\2 очков, что превышает сумму в 6 очков. Вывод: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко.

Попробуем увеличить на пол-очка результат Борисова. Тогда возможно такое распределение результатов: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко, у Борисова 2 очка и у Андреева 2. 1\2 очка. Впрочем, можно не увеличивать число очков у Борисова, а дать лишнее очко Андрееву. Получим: у Гордеева 1\2 очка, у Власова 1 очко, у Борисова 1. 1\2 очка и у Андреева 3 очка. Однако, последний вариант невозможен, так как из ранее заполненной таблицы ясно, что у Борисова не меньше 2 очков. Остается первый вариант:

Тогда автоматически заполняются результаты Борисова и Андреева:

Ответ: Андреев выиграл остальные две партии, Борисов выиграл у Власова и Гордеева, Власов выиграл у Гордеева.

161 - 170

Задача 161. Сколько оборотов сделает зубчатое колесо с 16 зубцами, если сцепленное с ним колесо с 40 зубцами сделает 32 оборота?

За полный оборот большого колеса через точку сцепления А пройдет 40 зубцов, а за 32 его оборота — 40 · 32 = 1280 зубцов. Но это значит, что малое колесо сделает 1280 : 16 оборотов.

Ответ: 80 оборотов.

Задача 162. Поезд длиной 750 м шел по мосту 2 мин. Какова скорость поезда, если длина моста 1 км?

Паровоз продвинулся за 2 минуты на 1750 м. Разделив этот путь на время движения, получим скорость.

Ответ: 875 м/мин.

Задача 163. В этом примере пропущены два одинаковых числа. Какое число пропущено?

(385 — __ + 8) · (__: 385 + 9).

В первой скобке пропущенное число должно быть не больше 385, а во второй скобке — не меньше 385.

Ответ: 385.

Задача 164. Коля ездит из дома в школу на трамвае. От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на № 2. Почему это возможно?